§ 43. Газ или жидкость в поле силы тяжести
Рассмотрим некоторое физическое тело, состоящее из одного и того же вещества в жидком или газообразном состоянии, нанимающее постоянный объем и имеющее постоянную температуру.
Пусть на тело действуют консервативные силы, например, сила тяжести. Тогда единица массы этого тела будет обладать потенциальной энергией
функцией параметров, определяющих элемент объема
. Если
— свободная энергия единицы массы,
— плотность, то сумма свободной и потенциальной энергии для элемента объема
равна
, а всего тела:
Состояние равновесия будет иметь место, когда величина Ф принимает минимальное значение; чтобы найти это состояние, т. е. определить в этом случае распределение вещества в пространстве, рассмотрим бесконечно малое изменение состояния, для которого
Для заданного элемента объема
постоянно, но
получает приращение
что ведет к изменению
, так как Ф зависит от объема v единицы массы, a
. При постоянном Т имеем поэтому
Условие равновесия принимает вид
Равенство это справедливо для всех значений
, удовлетворяющих уравнению
выражающему собой постоянство массы всей системы,
Отсюда следует, что множитель у
в интеграле (53) должен быть постоянным, т. е.
Остается лишь определить постоянную С. Это возможно, если известна свободная энергия как функция
или v; действительно, разрешаем уравнение (55) относительно
и находим отсюда
как функцию координат (так как
также зависит от координат). Подставив выражение для
в уравнение (54), получим уравнение относительно С, ибо масса М дана.
Так как
то уравнение (55) запишется в виде
или, согласно уравнению (45),
т. е.
Полученное уравнение совпадает с общеизвестными условиями статического равновесия. Чтобы в этом убедиться, заметим, что
(или
) зависят от координат х, у, Z. Дифференцируя поэтому равенство (55 а) по
и считая при этом С постоянной, получим
умножая на
и принимая во внимание (45):
Аналогичные уравнения получаются для у и z. Так как
- компоненты внешних сил, действующих на единицу массы, то эти уравнения служат условиями равновесия между силами, действующими на элемент объема.
Для идеального газа
постоянно. Уравнение (55b) приводит тогда к тому простому результату, что в состоянии равновесия сумма свободной и потенциальной энергий идеального газа во всех элементах объема одна и та же по всему объему. Потенциальная энергия газового столба в поле силы тяжести с высотой возрастает, но это приращение уравновешивается соответствующим уменьшением свободной энергии; свободная энергия зависит от плотности, а плотность с высотой убывает.