§ 17. Система с произвольным числом параметров

Рассмотрим теперь более общий случай — систему, состояние которой В определяется, кроме температуры Т, некоторым числом параметров . Внутренняя энергия системы является функцией всех этих величин. Приращение при переходе из В в бесконечно близкое состояние В, определяемое значениями параметров равно

Внешняя работа, как легко видеть, может быть выражена в форме:

где А, В и т. д. — функции независимых переменных .

Первое начало принимает тогда вид:

Параметры можно выбрать так, чтобы в выражении работы отсутствовал член . Действительно, всегда можно ввести такие параметры, что пока они не меняются, внешняя работа не производится, вне зависимости от изменения температуры. Если взаимодействие между системой и окружающей средой носит обычный, механический характер, то за достаточно принять геометрические величины, определяющие размеры и форму системы, включая сюда и взаимное расположение ее частей, а следовательно, и положения точек приложения сил. Если величины эти, которые можно назвать обобщенными координатами, остаются постоянными, то над системой извне никакой работы не производится.

Как примеры подобного рода координат укажем объем тела, длину стержня, его угол кручения и т. п. Коэффициенты А, В, С, ... можно назвать обобщенными силами. Их смысл зависит от смысла параметров Так, например, если а — объем газа, то работа равна так что Точно так же обобщенная сила, соответствующая длине стержня, — это сила, с которой стержень растягивается в длину, обобщенной силой для угла кручения будет момент кручения, который дает стержень на одном из своих концов. Таким образом,

но должно быть по второму началу в то же время полным дифференциалом Отсюда вытекает ряд условий, число которых равно числу сочетаний по два из независимых переменных. Эти условия распадаются на 2 группы. Одна из них содержит зависимости типа

или, так как Т не зависит от ,

Зависимости эти имеют место лишь тогда, когда система определяется больше, чем одним параметром вида и показывают, что обобщенные силы суть частные производные по одной и той же функции

так что есть полный дифференциал функции W, если Т постоянно. Другими словами, работа внешних сил при постоянной температуре есть полный дифференциал. Это можно доказать и проще: раз для всего цикла , то — полный дифференциал; если, далее, Т постоянно, то так что , а значит, и работа суть полные дифференциалы.

Условия второй группы получаются комбинированием последнего члена формулы (18) со всеми остальными членами. Мы получим тогда уравнения типа

или, в развернутом виде,

и аналогично

и т.д.