2.5. Рассеяние в центральном поле

Сечение рассеяния на малые углы в центральном поле можно вычислить исходя из импульса, переданного частице при прохождении около атома мишени. Когда частица с зарядом приближается к атому мишени с зарядом , она испытывает отталкивание, отклоняющее ее траекторию от первоначального движения по прямой линии (рис. 2.7). Значение кулоновской силы F на расстоянии r задается выражением

Пусть — начальный и конечный векторы импульсов частицы. Из рис. 2.8 видно, что полное изменение импульса , направлено по оси . При этом абсолютная величина импульса не меняется. Для равнобедренного треугольника, образованного на рис. 2.8 векторами

Рис. 2.7. Геометрия рассеяния Резерфорда. Ядро считается точечным зарядом, расположенным в начале отсчета О. На частицу в любой точке r действует сила отталкивания. Частица движется по гиперболической траектории, налетая на ядро параллельно линии OA на расстоянии b от нее и удаляясь параллельно линии ОВ, образующей угол . Угол рассеяния в связан с прицельным параметром b законами классической механики.

Рис. 2.8. Диаграмма импульсов для рассеяния Резерфорда. Заметим, что , т. е. при упругом рассеянии энергия и скорость движущейся частицы имеют одинаковые значения до и после столкновения.

и , имеем

или

Напишем теперь закон движения Ньютона для частицы в виде , или

Сила F определяется законом Кулона и действует вдоль радиус-вектора r (рис. 2.7). Взяв ее компоненту вдоль направления z, мы получаем интегрированием:

где произведена замена переменной интегрирования t на угол . Можно связать величину с моментом импульса частицы относительно центра рассеяния. Поскольку сила является центральной (т. е. действует вдоль линии, соединяющей частицу и ядро), то момент силы относительно центра отсутствует, а момент импульса частицы сохраняется. Первоначально момент импульса имеет значение . Позднее он равен Таким образом, сохранение момента Импульса дает

или

Подставляя этот результат и выражение (2.11) для силы в соотношение (2.13), получаем

или

Из рис. 2.7 следует, что где . Тогда . Объединяя выражения (2.12) и (2.14) для имеем

(2.15а)

Это дает связь между прицельным параметром b и углом рассеяния в

(2.15б)

Пользуясь определением (2.10) сечения рассеяния в виде

а также геометрическими тождествами

Это выражение для сечения рассеяния было впервые получено Резерфордом. Эксперименты Гейгера и Марсдена в 1911—1913 гг. подтвердили предсказание, что выход рассеяния пропорционален Кроме того, было обнаружено, что число элементарных зарядов в центре атома приближенно равно половине атомного веса. Это наблюдение дало возможность ввести понятие атомного номера элемента, который описывает положительный заряд ядра атома. Те же самые эксперименты, по результатам которых возникла модель атома в виде положительно заряженного ядра, окруженного вращающимися по орбитам электронами, теперь развились в очень важную методику анализа материалов.

Для кулоновского рассеяния расстояние d наибольшего сближения налетающей частицы и рассеивающего атома определяется приравниванием начальной кинетической энергии Е частицы и ее потенциальной энергии в точке наибольшего сближения:

Можно записать сечение рассеяния в виде что дает для рассеяния назад . Для ионов гелия с энергией 2 МэВ, падающих на серебро ,

что значительно меньше как радиуса Бора , так и радиуса -оболочки серебра . Таким образом, использование в этом случае неэкранированного сечения рассеяния оправданно. Сечение рассеяния на угол 180° равно

что составляет или 2,89 барн, где 1 барн .