10.9. Расчет вероятности излучательных переходов

В этом разделе будут проведены строгие расчеты вероятностей излучательных переходов и в первую очередь дипольного момента . В качестве и будем использовать водородоподобные волновые функции (см. табл. 8.1):

где

и

где

а сферические гармоники представлены в табл. 10.1. Множитель обеспечивает нормировку .

Матричный элемент для дается выражением , или в сферических координатах

и

(10.26)

Таблица 10.1. Сферические гармоники

Все слагаемые допускают разделения переменных следующего вида:

(10-27)

Рассмотрим зависимость интегралов от

где .

В общем случае любой интеграл вида

приводится к множителю вида

Второй интеграл всегда обращается в нуль, за исключением случая определяя, таким образом, правило отбора. Это означает, что матричный элемент, а значит и вероятность перехода, равны нулю всегда, за исключением случая . Для компоненты z правило отбора сводится к . Для и -компонент интеграл имеет вид

или

что приводит к правилу отбора или . Эти «дипольные правила отбора» определяют наблюдаемые спектры.

Z-компонента матричного элемента перехода между водородоподобны-ми функциями и упрощается до числа

(10.28)

Аналогичным образом можно показать, что

(10.29)

где

(10.30)

Таким образом, сводится к

(10.31)

или

и

Так как

(10.33)

где i, j и k — единичные базисные векторы, то для получаем

(10.34)

Отсюда по правилу вычисления скалярного произведения имеем

Используя формулу (10.5), находим вероятность перехода в никеле равной

что близко к общепринятой величине .