4.9. Статистическая модель атома Томаса — Ферми

При столкновениях с малыми скоростями заряд ядра экранируется электронами, так как расстояние между налетающей частицей и атомом среды остается достаточно большим. Это приводит к отклонению потенциала рассеяния от чисто кулоновского вида . Модифицированный потенциал определяется из теории Томаса — Ферми, которая единообразно

описывает все атомы и отличие состоит лишь в значениях масштабных множителей.

В модели Томаса — Ферми предполагается, что к электронам применимо статистическое описание, а именно статистика Ферми — Дирака, в рамках которой они ведут себя как идеальный газ частиц, заполняющих потенциальную яму вокруг положительно заряженного остова. Плотность состояний свободного электронного газа можно определить, выбрав элемент объема V в виде куба со стороной L и наложив периодические граничные условия:

Энергия электронного газа растет с увеличением числа электронов. Число электронов в элементе объема V, расположенном в окрестности точки r, получается интегрированием плотности состояний:

где — энергия Ферми, определяемая как максимальная кинетическая энергия ансамбля электронов в окрестности точки r.

В рассматриваемых нами многоэлектронных атомах полная энергия электрона в точке г равна , где — его кинетическая энергия. Для электрона в связанном состоянии и поэтому максимальная кинетическая энергия связанного электрона есть Из формулы (4.37) получаем плотность электронов в точке r.

Условие самосогласованности состоит в том, что потенциал, порождаемый распределением электронов с плотностью (4.38) и зарядом ядра, должен правильно воспроизводить потенциальную энергию Следовательно, плотность заряда — и электростатический потенциал — удовлетворяют уравнению Пуассона

или

Уравнения (4.38) и (4.39) должны решаться одновременно для и со следующими граничными условиями: при потенциальная энергия определяется ядром, т. е. при заряд вне сферы радиусом r равен нулю и поэтому убывает быстрее

Уравнение (4.39) и указанные граничные условия удобно выразить в безразмерной форме, в которой величины Z, Е, m и входят только через посредство

масштабных единиц. Положим

и

где — радиус Бора. Соотношение (4.40) указывает, что единица масштаба а, описывающая размер атома, обратно пропорциональна кубическому корню из атомного номера. (В электронной спектроскопии, использующей переходы между уровнями остова, радиус орбиты состояния аппроксимируется величиной .) После указанных подстановок уравнение (4.38) принимает вид

Потенциал этого безразмерного уравнения Томаса — Ферми обладает кулоновским поведением в пределе . Точное решение уравнения (4.41) находится численными методами. Существуют также аналитические аппроксимации решения в виде экспонент или степенных разложений. Наиболее часто в компьютерных вычислениях для функции экранирования Томаса — Ферми используется аппроксимация Мольера, показанная на рис. 4.4 и задаваемая выражением

где .