7.3. Тепловые колебания и фактор Дебая — Валлера

При определении положений, занимаемых атомами в кристалле, мы должны учесть их тепловые колебания около равновесных положений, нарушающих «совершенность» решетки. Мерой смещения атомов при тепловых колебаниях служит среднеквадратичная амплитуда . В гармоническом приближении распределение по амплитудам является гауссовым:

где — среднее значение для этого распределения. Во многих случаях мы будем интересоваться одномерной компонентой для которой

Для кубических систем . В гл. 5 мы определили двумерную среднеквадратичную амплитуду тепловых колебаний

Дебаевская температура приближенно определяется соотношением

где — дебаевское обрезание по частоте, соответствующее максимальной частоте фонона в твердом теле. Далее,

где

Рис. 7.2. Функция Дебая , используемая при расчетах среднеквадратичной амплитуды колебаний

— функция Дебая, М — масса атома в твердом теле, состоящем из атомов одного сорта. График функции Дебая показан на рис. 7.2.

Зависимость от температуры выражается формулой

Рис. 7.3. Среднеквадратичное отклонение как функция температуры Т в приближении Дебая. Наклон асимптотики функции к началу координат равен ; амплитуда колебаний при (нулевые колебания) равна .

Таблица 7.1. Параметры кристаллов при комнатной температуре [13]

где . Эта зависимость схематически изображена на рис. 7.3. При высоких температурах, величина пропорциональна абсолютной температуре; при низких температурах стремится к постоянному конечному значению, соответствующему нулевым колебаниям в твердом теле. Дебаевские температуры ряда материалов приведены в табл. 7.1.

Тепловые колебания ответственны за температурную зависимость интенсивности дифрагированного рентгеновского излучения, приведенную на рис. 7.4. Интенсивность дифракционных пятен убывает с ростом температуры по закону

где W — фактор Дебая — Валлера. В случае рентгеновской дифракции где — передача импульса при рассеянии рентгеновского кванта, т. е. . Здесь — длина волны падающего излучения, 20 — угол рассеяния.

Рис. 7.4. Температурная зависимость интегральной интенсивности рентгеновского излучения отраженного от плоскостей (800) . Сплошной линией показаны результаты расчета с использованием фактора Дебая — Валлера [14].