2.10. Переход от системы центра масс к лабораторной системе

При выводе формулы Резерфорда для сечения рассеяния предполагается, что силовой центр неподвижно фиксирован. В действительности в рассеянии участвуют два тела, ни одно из которых не является закрепленным на месте. В общем случае любая задача двух тел с центральным взаимодействием может быть сведена к одночастичной задаче. Однако реальные измерения производятся в лаборатории, поэтому необходимо знать соответствующие преобразования. Законы преобразования дают конечные и важные "поправки", которые необходимо тщательно учитывать при вычислениях. Эти поправки наиболее существенны, когда масса налетающей частицы становится сравнимой с массой мишени . При этих условиях эффекты отдачи, связанные с подвижностью рассеивающего центра, особенно велики.

Рис. 2.16. а — связь между углами рассеяния в лабораторной системе отсчета и углами рассеяния в системе центра масс. 1 — налетающая частица; 2 — мишень; 3 — рассеянная частица, 4 — частица отдачи. б — векторное соотношение между скоростями налетающей частицы; — скорость в лабораторной системе отсчета, — скорость в системе центра масс.

Связь между углами рассеяния в лабораторной системе и углами в системе центра масс (СЦМ) изображена на рис. 2.16, а. Найдем аналитическое выражение, связывающее углы рассеяния в двух системах. Воспользуемся следующими обозначениями:

и — координата и скорость налетающей частицы в лабораторной системе отсчета;

— координата и скорость налетающей частицы в системе центра масс;

— координата и скорость центра масс в лабораторной системе. По определению

так что

Изображенная на рис. 2.16, б геометрическая связь между векторами и углами рассеяния позволяет получить соотношение

Положение центра масс R определяется равенством

так что

где относятся к атому мишени. Из векторной диаграммы следует

или

Поскольку система консервативна, относительная скорость является одной и той же величиной до и после столкновения. Первоначально поэтому

где v — начальная скорость частицы.

Постоянная скорость движения центра масс также может быть получена из определения

Подставляя выражение для R и в (2.23), имеем

При углы рассеяния и в двух системах приближенно равны: тяжелый рассеиватель испытывает слабую отдачу. Полезно переписать выражение (2.24) в виде

где . Перенося одно из слагаемых в левую часть, получаем

или

так что

Положим для удобства . Дифференцируя соотношение (2.25), имеем

и

или

Тогда

где энергия E в лабораторной системе равна

Полезно получить выражение для сечения рассеяния в терминах только и х. Воспользуемся тем, что

так что

и

Заметив, что , получаем выражение

приведенное в (2.19).