8.3. Волновые функции

Для иллюстрации основного содержания данной главы нам будут нужны два типа волновых функций: 1) волновая функция свободной частицы и 2) водородоподобные волновые функции .

8.3.1. Плоские волны (V = 0)

Во многих задачах исследования материалов рассматривается падающий пучок или выходящее излучение. Частица с энергией Е, падающая в направлении, скажем, х, не испытывает влияния потенциала. В этом случае решением уравнения Шредингера вида

является

где

Полученная волновая функция описывает частицу, движущуюся в положительном направлении с импульсом Полная волновая функция дается выражением

где . В обоих выражениях (8.13) и (8.15) А является произвольной постоянной, которая определяется параметрами пучка.

8.3.2. Водородоподобная волновая функция

Решение уравнения Шредингера в радиальных координатах может быть записано как

где известна как сферическая гармоника. Решение для угловой части дифференциального уравнения определяет квантовые числа, т.е. не всегда является решением, а имеет физический смысл лишь для определенных целых значений параметров

Чтобы увидеть как это происходит, рассмотрим зависимость уравнения Шредингера от

где — постоянная, возникающая при разделении переменных. Далее

но — азимутальный угол, а волновая функция должна иметь одинаковые значения при Это выполняется, если

Разделение трех переменных приводит к трем квантовым числам , и решения задачи для водородного атома имеют вид

— волновые функции, которые при данных значениях могут быть записаны в явном виде. Для нескольких первых волновых функций имеем

где . Волновые функции водородного атома для наиболее

низких энергетических уровней представлены в табл. 8.1, а функции распределения по радиусу в виде приведены на рис. 8.1. Эта величина дает вероятность нахождения частицы внутри оболочек с радиусом r. На рис. 8.1 также показаны энергетические уровни водородного атома; те же значения определяются и из модели Бора.

Приведенные выше волновые функции соответствующим образом

Рис. 8.1. а — плотность вероятности водородной волновой функции при различных значениях квантовых чисел и ; б — энергетические уровни водородного атома; вертикальными линиями показаны переходы, удовлетворяющие правилу отбора .

нормированы, т. е. вероятность нахождения частицы во всем пространстве равна единице. Таким образом,

где является комплексно сопряженной к .