8.6. Фотоэлектрический эффект в приближении прямоугольной ямы

Целью этой главы является количественный расчет поперечного сечения фотоэффекта, в процессе которого электрон с энергией связи облучается светом с энергией кванта а затем вырывается с энергией . В этом разделе мы решим довольно простую задачу о вероятности перехода и затем о поперечном сечении связанного электрона в одномерной яме. В следующем разделе будет рассмотрен более реалистический случай фотоэффекта в водородоподобном атоме.

Представим поток налетающих фотонов с помощью электромагнитного поля. Тогда возмущение принимает вид

где электрическое поле , действующее на частицу, однородно в пространстве

(длина волны превышает размеры атома), но является гармоническим по времени. Возмущение представляет собой потенциальную энергию электрона в поле фотона с частотой .

Скорость перехода между начальным и конечным состояниями дается формулой (8.24):

где начальному состоянию отвечает волновая функция связанной частицы в потенциальной яме, а конечным состоянием является одномерная плоская волна

Для расчета плотности конечных состояний рассмотрим систему, имеющую размер L, и потребуем периодичности граничных условий: Нормированными состояниями являются

где т.е. периодические граничные условия).

Плотностью состояний является число состояний с энергиями в интервале . Отсюда

Для свободной частицы и поэтому

где добавлен множитель 2 для положительных и отрицательных частиц N. Матричный элемент для вероятности перехода имеет вид

где — импульс в конечном состоянии.

В качестве примера рассмотрим расчет матричного элемента для электрона, слабо связанного в узкой потенциальной яме. Волновая функция вне одномерной ямы должна удовлетворять уравнению

приводящему к экспоненциальному спаду решений вида

где — импульс, соответствующий энергии связанного состояния,

Рис. 8.2. Схема фотоэффекта для электрона, связанного в прямоугольной яме. Сплошной линией показана волновая функция, использованная в расчете, тогда как истинная волновая функция в области показана штриховой линией.

Для упрощения расчетов экстраполируем волновую функцию до центра ямы экспоненциальной зависимостью от координаты х, как это показано на рис. 8.2. Нормированная волновая функция начального состояния принимает вид

С учетом этого упрощения получаем

Скорость перехода равна

где — внешнее электрическое поле. В рассматриваемом случае поэтому . Отсюда

При исследовании твердого тела важно знать вероятность события на один падающий фотон, т.е. сечение процесса . Величина а связана с W через поток фотонов F в осциллирующем электрическом поле.

Из классической электродинамики следует, что плотность мощности поля равна . Плотность мощности определяется как . Таким образом, поток F, определяемый как число , равен . Сечение процесса имеет размерность

или

С ростом энергии фотона ) сечение фотоэффекта убывает, как .