8.2. Уравнение Шредингера

Корпускулярно-волновой дуализм материи математически выражается уравнением Шредингера

где — «волновая функция», которая описывает движение частицы под влиянием потенциала . В классической механике физическая проблема «решена», если при заданном потенциале координаты частицы выражаются в виде функций от времени. В квантовой механике задача решена,

если известна как функция от r и t. Число полностью разрешимых задач, имеющих физический смысл, невелико. Почти все процессы, имеющие отношение к материаловедению, описываются как приближенные решения уравнения Шредингера, полученные с помощью «теории возмущений».

В прямоугольных координатах уравнение Шредингера записывается в виде

где является функцией от х, у, z и t.

Во многих случаях достаточно рассмотреть одномерное уравнение Шредингера

Запишем в виде произведения двух функций :

При подстановке в (8.3) это приводит к уравнению

Используя математический метод разделения переменных, замечаем, что левая часть зависит только от х, а правая часть только от f, поэтому обе части пропорциональны константе разделения Е. Итак,

где С — произвольная постоянная, а уравнение для принимает вид

Полное решение имеет вид

где А — постоянная, определяемая из условия нормировки. Уравнение (8.7) известно как уравнение Шредингера, не зависящее от времени. Разделение переменных может быть выполнено в том случае, когда V не является функцией времени.

Физический смысл уравнения Шредингера подробно обсуждается в ряде книг. Здесь же мы отметим только, что — соответствует кинетической энергии, V — потенциальной энергии, а уравнение (8.7) часто записывают в кратком виде

где кинетическая энергия потенциальная энергия) соответствует классическому гамильтониану. Физический смысл функции может быть понят, если учесть, что определяет вероятность нахождения частицы в точке r во время t. Уравнение (8.7) является примером «уравнения на собственные значения», в котором u — собственные функции оператора , а Е — собственное значение. Для многих реалистических потенциалов решение уравнения (8.7) включает лишь дискретные значенйя Е, оправдывая, таким образом, предположение о квантовании в теории Бора, рассмотренной в гл. 1.

В задачах с центральной силой потенциал , а уравнение Шредингера в сферических координатах перепишется в виде

Используя вновь разделение переменных

для радиальной части получаем

где — «орбитальное» квантовое число.