3.7. Вероятностные процессы

До настоящего момента мы не упоминали о том, что распределения вероятностей могут зависеть от времени. Мы делали это умышленно, так как во многих случаях, если время и имеется в общей картине, то только в неявном виде и поэтому не имеет прямого отношения к задаче. Однако существует много представляющих интерес случаев, в которых важно учитывать зависимость вероятностных параметров от времени; таковы, например, задачи, связанные со случайными сигналами и шумами. Мы попытаемся теперь показать, как введенные нами раньше понятия вероятности и случайной величины могут быть распространены на такие ситуации.

Одной из главных идей, лежащих в основе нашей концепции вероятности, является понятие относительной частоты данного исхода при большом числе повторений основного эксперимента. Идея «повторения» эксперимента обычно подразумевает проведение эксперимента в первый раз, повторение его спустя некоторое время, следующее повторение еще некоторое время спустя и т. д. Однако в определении относительной частоты важным является скорее не последовательное повторение экспериментов во времени, а просто проведение большого числа экспериментов. Мы можем удовлетворить нашим требованиям не только путем повторения эксперимента во времени, но и путем одновременного проведения большого числа идентично поставленных экспериментов.

Рассмотрим последовательность из N бросаний игральной кости. Пусть при бросании выпадает очков; может быть любым целым числом от единицы до шести. Следовательно, соответствующее бросанию выборочное пространство состоит из шести точек а соответствующей случайной величиной является само Аналогично для последовательности из N бросаний соответствующим совместным выборочным пространством является N-мерное векторное пространство, в котором координаты выборочных точек суть а соответствующая случайная величина — вектор, характеризующий выборочную точку. С увеличением длины последовательности бросаний растет и размерность совместного выборочного пространства. Вероятность того, что при первом бросании выпадает очков, можно найти по результатам одновременного бросания большого

числа костей, определив соответствующую относительную частоту. Аналогично, повторяя последовательно эту процедуру, мы можем определить вероятность того, что при бросании выпадает очков, а также совместную вероятность выпадения очков при первом бросании, очков при втором бросании, очков при бросании.

Фиг. 3.7. а — типичные выборочные функции случайного процесса с дискретным параметром; — типичные выборочные функции случайного процесса с непрерывным параметром.

Задание совокупности подобных экспериментов вместе с соответствующими распределениями вероятностей и случайными величинами (для всех М) определяют вероятностный (или случайный, или стохастический) процесс и, в частности, в рассмотренном примере — вероятностный процесс с дискретным параметром 1).

Рассмотрим теперь некоторую определенную последовательность результатов бросаний кости. Числа входящие в эту последовательность бросаний, называются выборочными значениями, и можно представлять себе, что они задают некоторую функцию от индекса Такие функции, различные примеры которых приведены на фиг. 3.7, а, называются выборочными функциями рассматриваемого вероятностного процесса. Совокупность всевозможных выборочных функций, заданных вместе с их распределением вероятностей, называется ансамблем выборочных функций. Часто оказывается удобным наряду с заданием вероятностного процесса с помощью рассмотренных выше случайных величин и функций распределения задавать его с помощью ансамбля выборочных функций.

Эти соображения, развитые применительно к вероятностным процессам с дискретным параметром, можно более или менее очевидным способом распространить на вероятностные процессы с непрерывным параметром. Рассмотрим, например, напряжение теплового шума некоторого сопротивления. В частности, рассмотрим результат его измерения в момент Это напряжение может принимать любое значение от плюс до минус бесконечности. Выборочным пространством, соответствующим нашему измерению, явится, следовательно, действительная прямая а соответствующей случайной величиной будет само измеряемое напряжение. Обладая большим числом одинаковых сопротивлений, мы можем одновременно измерить целую совокупность значений и по результатам этих измерений определить относительную частоту наступления событий Полученные таким образом относительные частоты позволят измерить и, следовательно, найти плотность распределения вероятностей Аналогично мы могли бы проделать измерения в N моментов времени от до найдя тем самым выборочные значения случайных величин и таким образом получить плотность совместного распределения вероятностей

Задание всех таких множеств случайных величин и плотностей их совместных распределений вероятностей определяет вероятностный процесс с непрерывным параметром. При этом выходное напряжение шума какого-либо конкретного сопротивления, рассматриваемое как функция времени, оказывается выборочной функцией нашего вероятностного процесса с непрерывным параметром. Типичные примеры таких выборочных функций показаны

на фиг. 3.7, б. Как и в случае дискретного параметра, можно представлять себе, что вероятностный процесс задается ансамблем всевозможных выборочных функций.

Вероятностные соотношения.

Определив вероятностный процесс, задающие его распределения вероятностей и случайные величины, мы можем непосредственно применить все вероятностные соотношения, определенные и выведенные нами выше. Так, если — случайные величины, принадлежащие рассматриваемому вероятностному процессу, то его плотности распределения вероятностей обладают следующими свойствами. Прежде всего, в силу неотрицательности плотностей распределения вероятностей, для всех значений N

Далее, должно удовлетворяться соотношение

в соответствии с тем, что вероятность появления хотя бы одного из возможных событий равна единице. Также должно удовлетворяться соотношение

вытекающее из (3.29). Условные плотности распределения вероятностей задаются, как и обычно, равенствами

и должно удовлетворяться условие

поскольку этом случае мы снова имеем дело с достоверным событием.

Пусть — случайные величины, принадлежащие одному вероятностному процессу, а — случайные величины, принадлежащие другому вероятностному процессу. Эти два процесса называются независимыми вероятностными процессами, если для любой совокупности случайных величин и для всех

значений N

Стационарные вероятностные процессы.

Обратимся вновь к рассмотрению большого числа изготовленных идентичным образом источников теплового шума, о которых мы уже говорили выше. Совершенно так же, как по данным измерений, полученных в момент мы выяснили плотность распределения вероятностей мы можем теперь по данным, полученным в другой момент времени вычислить плотности распределения вероятностей Аналогично наравне с плотностью совместного распределения вероятностей вычисленной по данным, полученным в моменты мы можем также вычислить плотность совместного распределения вероятностей основываясь на данных, полученных в моменты Очевидно, возможна одна из двух ситуаций: или эти две совокупности плотностей распределения вероятностей окажутся совпадающими, или нет. Если для всех значений распределения вероятностей, соответствующие моментам времени идентичны распределениям вероятностей, соответствующим моментам времени то эти распределения вероятностей инвариантны по отношению к переносу начала отсчета времени. Вероятностный процесс, задаваемый такой системой распределений вероятностей, называется стационарным вероятностным процессом; все прочие процессы называются нестационарными.

В качестве примера стационарного вероятностного процесса рассмотрим напряжение теплового шума, развиваемое сопротивлением имеющим температуру Т и соединенным параллельно с конденсатором емкости С. Ниже мы увидим, что распределения вероятностей шумового напряжения, возникающего на зажимах параллельной ячейки, полностью определяются значениями . Если значения неизменны во времени, то шумовое напряжение задает стационарный вероятностный процесс. Если же, с другой стороны, скажем, температура Т меняется со временем, то процесс будет нестационарным.