ПРЕДИСЛОВИЕ

Математическая теория проверки гипотез, в которой критерии появляются как решения точно поставленных оптимальных проблем, была создана Ю. Нейманом и Э. Пирсоном в 30-х годах и с тех пор получила значительное развитие. Цель настоящей книги состоит в том, чтобы дать систематическое изложение этой теории и тесно связанной с ней теории доверительных множеств вместе с их главными приложениями. В число последних входят стандартные задачи (как для одной, так и для двух выборок), касающиеся нормального, биномиального и пуассоновского распределений; некоторые аспекты дисперсионного анализа и анализа регрессии (линейные гипотезы); некоторые многомерные проблемы и последовательный анализ. Книга знакомит также с непараметрическими критериями, хотя здесь теоретический подход не развит полностью. Большая область методологии, а именно класс методов, основанных на рассмотрении больших выборок, в частности критерий и критерий отношения правдоподобия, по существу, не нашла отражения. Подход к ним и применяемый математический аппарат столь отличны от используемого в этой книге, что адекватное изложение потребовало бы отдельного тома. Краткие указания на теорию этих критериев содержатся в конце главы 7.

В настоящее время теория проверки гипотез подвергается важным изменениям по меньшей мере в двух направлениях. Одно из них возникло на почве осознания того факта, что стандартная формулировка чрезмерно упрощает задачу. Как следствие, теория была пересмотрена с точки зрения статистических решающих функций, введенных Вальдом. Хотя эти исследования и проливают новый свет на классическую теорию, они в целом подтверждают ее открытия. Я сохранил формулировку Неймана — Пирсона в основной части книги, но включил обсуждение понятий общей теории решений в главу 1 с тем, чтобы дать более широкую основу для оправдания некоторых результатов, Эти понятия служат также базисом для развития теорий проверки гипотез и доверительных интервалов.

Значительно более важным является тот факт, что многие из рассматриваемых задач, которые обычно формулируют в терминах проверки гипотез, в действительности оказываются множественными проблемами решения. В этих последних отклонение основной гипотезы приводит к необходимости выбора одного из нескольких решений. Развитие подходящих процедур в этих задачах представляет собой в настоящее время одну из важнейших проблем статистики. Однако поскольку значительная часть работ в этом направлении имеет пробный характер, я предпочел указывать традиционные критерии даже в тех случаях, где большинство применений создает впечатление необходимости более тонких процедур; в этих случаях я ограничивался лишь предостережением о том, что подход справедлив в таких то пределах. Действительно, кажется правдоподобным, что упомянутые критерии, по причине своей простоты, останутся полезными и тогда, когда будет закончена более полная теория множественных решений.

Естественную математическую основу систематического изложения способов проверки гипотез образует теория меры в абстрактных пространствах. Поскольку вводные курсы по теории действительного переменного или теории меры часто ограничиваются одной лишь мерой Лебега, в разделах 1 и 2 главы 2 приведены краткие формулировки, относящиеся к общей теории. В самом деле, большая часть книги может быть прочитана без знания теории меры, если символ интерпретировать или как или как и если не обращать внимания на теоретико-множественную природу некоторых доказательств. Формально знание статистики не предполагается — все необходимые понятия вводятся с самого начала. С другой стороны, так как читатель обычно уже имеет некоторый опыт обращения со статистическими методами, то применения каждого метода описываются в общих терминах — конкретные примеры с числовыми данными не приводятся. Их можно найти в большинстве стандартных учебников.

В конце каждой главы помещены задачи, многие из которых сопровождаются указаниями на путь решения. Здесь встречаются упражнения, и дополнительные примеры, и задачи, вводящие в новые темы. В конце каждой главы имеется также аннотированный список литературы, послужившей источником как идей, так и отдельных результатов. Примечания не ставят целью привести основные результаты цитированных статей, а лишь указывают значение каждой из них для соответствующей главы. Составляя эти списки, я не стремился к полноте, а пытался дать полезный «путеводитель» по литературе.

Набросок этой книги появился в 1949 году в форме записок лекций, составленных Колином Блитом (Colin Blyth) в летнем семестре в Калифорнийском университете. С тех пор я излагал те или иные части материала в Колумбийском, Принстонском и Стэнфордском университетах, и несколько раз — в Калифорнийском университете. Мне очень помогли замечания студентов, и я сожалею, что не могу поблагодарить их каждого в отдельности. На различных этапах работы я получил много полезных предложений от В. Готски (W. Gautschi), А. Хейланда (A. Hoyland), Л. Д. Сэвиджа (L. J. Savage) и особенно от К. Стрибел (С. Striebel); критическое чтение ею предпоследнего варианта рукописи привело ко многим усовершенствованиям. Также я хотел бы отметить с благодарностью ту пользу, которую мне принесли многие продолжительные беседы с Чарлзом Стейном (Charles Stein).

Приятно отметить поддержку этой работы Бюро Морских исследований; без нее, вероятно, книга не была бы написана. Наконец, я хотел бы поблагодарить Дж. Рубалкава (J. Rubalcava), которая печатала и перепечатывала различные черновые варианты рукописи с неослабевающим терпением, точностью и скоростью.

Беркли, Калифорния, Э. Л. Леман, июнь 1959