ГЛАВА 4. НЕСМЕЩЕННОСТЬ: ТЕОРИЯ И ПЕРВЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ

1. Несмещенность при проверке гипотез

Простое условие, которое можно требовать от критериев гипотезы при сложной альтернативе К: состоит в том, что ни при одной альтернативе из К вероятность отклонения гипотезы не должна быть меньше размера критерия. Если это условие нарушено, то найдутся альтернативы, при которых принятие гипотезы более вероятно, чем в некоторых случаях, когда она верна. Критерий для которого выполняется указанное условие, для функции мощности которого верны неравенства

называется несмещенным. При надлежащем выборе функции потерь это определение оказывается, как было показано в главе 1, частным случаем общего определения несмещенности. РНМ критерий, если он существует, оказывается несмещенным, так как его мощность не может быть меньше мощности критерия

В широком классе проблем, где РНМ критерии не существуют, тем не менее существуют РНМ несмещенные критерии. В частности, сюда включаются некоторые гипотезы вида или в предположении, что распределения результатов наблюдений зависят кроме также и от других параметров.

Если непрерывная функция , то несмещенность влечет

где — общая граница и т. е. множество точек предельных как для так и для Критерии, удовлетворяющие последнему условию, называются подобными на границе и

Так как более удобно оперировать с (2), чем с (1), то нижеследующая лемма играет важную роль в отыскании РНМ несмещенных критериев.

Лемма 1. Если распределения таковы, что функция мощности любого критерия непрерывна, и если является РНМ среди всех критериев, удовлетворяющих (2), и имеет уровень а как критерий , то несмещенный критерий.

Доказательство. Класс критериев, удовлетворяющих (2), содержит в себе класс несмещенных критериев и, следовательно, равномерно не менее мощен, чем любой несмещенный критерий. С другой стороны, критерий является несмещенным, так как он равномерно не менее мощен, чем