6. Регрессия

Изучение связи между двумя величинами может производиться на основе выборки и регистрации пар измерений (см. раздел II и задачу 11 в главе 6). Но часто бывает возможно регулировать одну из этих величин, например возраст обследуемого лица, или температуру, при которой проводится эксперимент, или силу применяемого лечебного препарата. Наблюдения величины У получают при этом для наперед заданных значений величины х. Предположим, что при фиксированном х распределение У нормально с постоянной дисперсией и средним, которое зависит от х (его называют регрессией У на Предположим, что эта зависимость линейна

Полагая так что и

мы представим совместную плотность в форме

Эти плотности образуют экспоненциальное семейство (1) с

Из такого представления вытекает существование РНМ несмещенных критериев для гипотез типа где — заданные постоянные, а следовательно, и существование наиболее точных несмещенных доверительных интервалов для параметра

Чтобы найти для этих интервалов точное выражение, заметим, что несмещенный критерий для имеет область принятия

где

(см. задачу 20 и раздел 6 главы 7). Соответствующие доверительные интервалы для имеют центры и длину

Из преобразования, указанного в задаче 20, вытекает, что величина имеет -распределение с степенями свободы, и поэтому математическое ожидание длины доверительных интервалов равно

Как правило, являются функциями Если они находятся в распоряжении экспериментатора, и, следовательно, есть некоторая свобода в выборе , то средняя длина минимизируется одновременно с суммой Но в действительности средняя длина может и не быть хорошей характеристикой точности доверительных интервалов, так как короткие интервалы желательны, если они покрывают истинное значение параметра, и только при этом условии. Однако тот же вывод справедлив и по отношению к другим критериям качества, таким как математическое ожидание от или, более общим образом, от где возрастающие функции своих аргументов (см. задачу 20). Далее, тот же самый выбор минимизирует вероятность покрытия интервалом любого ложного значения параметра. Мы будем поэтому рассматривать как обратную величину к мере точности интервалов.

Пример 9. Доверительные интервалы для наклона получаются из указанных выше при Здесь точность возрастает вместе с точки должны быть выбраны в отрезке то точность становится максимальной при помещении половины всех в каждый конец. Однако с практической точки зрения такой план часто не очень хорош, так как не позволяет проверить линейность регрессии.

Пример 10. Другой интересный параметр — математическое ожидание в точке т. е. Так как

то а и b имеют значения Максимум точности достигается при наименьшем и если невозможно принять то следует минимизировать

Пример 11. Часто представляет интерес оценка точки в которой а имеет заданное значение. Например, мы можем искать точку

в которой или, что то же самое, искать значение при котором Наиболее точные несмещенные доверительные множества для решения последнего уравнения можно получить из РНМ несмещенных критериев для гипотез Области принятия для этих гипотез даются (45) с Соответствующие доверительные множества для содержат все точки, для которых

где Если квадратный трехчлен имеет корниту и , то доверительные утверждения принимают вид

и

Удивительная на первый взгляд возможность получить в качестве доверительного множества внешность интервала, в действительности весьма естественна в этой задаче. Когда прямая почти параллельна оси ее пересечение с этой осью происходит в точке с большой по абсолютной величине абсциссой. Но знак абсциссы может измениться при совсем малом изменении угла наклона. Возможно также, что дискриминант квадратного трехчлена отрицателен

При этом соответствующее квадратное уравнение не имеет вещественных решений. Из выписанного условия видно, что старший коэффициент квадратного трехчлена положителен, так что доверительным множеством в этом случае является вся прямая. То обстоятельство, что доверительные множества могут быть неограниченными, привело к соглашению, чтобы их использовать, исключая этот случай. Однако такое соглашение изменит вероятности, с которыми эти множества покрывают истинное значение параметра, а тем самым и величину коэффициента доверия.