2. Сходимость распределений

Когда изучаются свойства сходимости функций, часто удобней рассматривать класс функций как реализацию абстрактного пространства точек в котором определена сходимость последовательности к пределу обозначаемая

Пример 3. Пусть мера на измеримом пространстве

(I) Обозначим класс интегрируемых функций. Тогда сходится к в среднем, если

(II) Пусть равномерно ограниченный класс измеримых функций. Последовательность называют сходящейся к слабо, если

для всех -интегрируемых функций

(III) Пусть У является классом измеримых функций. Тогда сходится к поточечно, если

Подмножество о пространства плотно в если для любого элемента существует последовательность элементов из У о» имеющая своей предельной точкой. Пространство У называется сепарабельным, если существует счетное плотное подмножество Пространство такое, что каждая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность, предельная точка которой принадлежит называется компактом. Пространство является метрическим пространством, если для каждой пары точек определено расстояние такое, что

Пространство псевдометрично, если (I) заменяется на

Псевдометрическое пространство может быть превращено в метрическое введением отношения эквивалентности если Классы эквивалентности в этом случае образуют метрическое пространство по отношению к расстоянию где

В любом псевдометрическом пространстве естественно определить сходимость, полагая если

Пример 4. Пространство интегрируемых функций примера 3 (I) становится псевдометрическим пространством, если мы положим

Тогда определение сходимости для пространства с такой метрикой совпадает с данным формулой (I).

Пример 5. Обозначим семейство распределений вероятностей на Тогда метрическое пространство по отношению к метрике

Лемма 1. Каждое подмножество сепарабельного псевдометрического пространства сепарабельно.

Доказательство. Согласно предположению, существует плотное счетное подмножество пространства Пусть

и пусть любое подмножество Выберем один элемент из каждого непустого пересечения и обозначим полученное счетное множество элементов Если а — любой элемент из любое положительное число, то существует элемент такой, что Поэтому пересечение не пусто и существует элемент в такой, что расстояние от а до этого элемента Этим показано, что плотно в и что, следовательно, А сепарабельно.

Лемма 2. Последовательность интегрируемых функций сходится к в среднем тогда и только тогда, когда

Доказательство. Очевидно, что (1) влечет (5), так как для всех

Обратно, пусть выполняется (5). Обозначим множества точек х, для которых соответственно. Тогда

Лемма 3. Последовательность равномерно ограниченных функций сходится к ограниченной функции слабо тогда и только тогда, когда

Доказательство. Условие (6) следует из слабой сходимости, если в (2) взять в качестве функции индикатор множества который интегрируем, если Обратно, из (6) следует, что (2) выполняется, если любая простая функция где таковы, что Для любой интегрируемой функции по определению интеграла существует такая простая функция 5, для которой где

константа, ограничивающая Тогда мы имеем

Первые два слагаемых правой части неравенства меньше (каждое), а третье слагаемое стремится к нулю, когда стремится к бесконечности. Таким образом, левая часть неравенства при достаточно больших, что и требовалось доказать.

Лемма 4. Пусть неотрицательные интегрируемые функции и такие, что

Тогда поточечная сходимость влечет сходимость в среднем.

Доказательство. Если то и отрицательная часть удовлетворяет неравенству Так как -почти всюду), то из теоремы 1 (II) главы 2 следует, что здесь также стремится к нулю, так как Поэтому

, что и требовалось.

Пусть -распределения вероятностей на с плотностями по отношению к мере Рассмотрим определения сходимости

и

Тогда леммы 2 и 4 вместе с незначительно видоизмененной леммой 3 показывают, что влечет влечет (в); и что эквивалентно эквивалентно Кроме того, можно показать, что ни и ни и неэквивалентны.