5. Несмещенные доверительные множества

Доверительные множества можно рассматривать как семейство критериев для гипотез при альтернативах когда меняется. Если коэффициент доверия равен , то это означает, что все критерии имеют уровень а и

В случае, когда гипотеза имеет вид является интервалом это согласуется с (33). В случае односторонней гипотезы условие (38) принимает форму для всех , эквивалентную (32). При такой интерпретации доверительных множеств вероятности

суть вероятности ошибочного принятия (ошибки второго рода), и чем они меньше, тем лучше сами критерии.

Рассмотрим вопрос о качестве оценок. Формула (39) указывает вероятности покрытия «ложного» значения . При заданной вероятности покрытия правильного значения доверительные множества дают тем больше информации, чем реже накрывают они ложные значения параметра. В этом смысле вероятности (39) могут служить мерой точности доверительных множеств. Обоснование (39) с точки зрения функций потерь для одностороннего случая было дано в разделе 5 главы 3.

При наличии мешающих параметров РНМ критерии обычно не существуют, соответственно не существуют и равномерно наиболее точные доверительные множества, т. е. такие, которые минимизируют (39) при всех с при всех О. Это наводит на мысль ограничиться доверительными множествами, в некотором смысле несмещенными. По аналогии с соответствующим определением для критериев, мы называем семейство доверительных множеств с доверительным уровнем несмещенным, если

так что вероятность покрытия этих «ложных» значений не превосходит доверительного уровня.

В отмеченных выше одно- и двустороннем случаях условие (40) приводится к следующим:

и

При таком определении несмещенности, несмещенные семейства критериев порождают несмещенные доверительные множества и обратно. Семейство доверительных множеств называется равномерно наиболее точным несмещенным семейством с доверительным уровнем , если оно минимизирует вероятности

при ограничениях (38) и (40). На основе РНМ несмещенных критериев этой и предыдущей глав получаются равномерно наиболее точные несмещенные доверительные множества. В частности, это относится и к доверительным интервалам, построенным в предыдущем разделе. Ниже приводятся еще некоторые примеры.

Пример 5. Если выборка из то РНМ несмещенный критерий для гипотезы имеет область принятия (13)

где определяются из (14). Следовательно, наиболее точным несмещенным доверительным интервалом для является

Аналогично этому из (9) и (10) получается наиболее точная несмещенная верхняя доверительная граница для

где

Соответствующая нижняя доверительная граница является равномерно наиболее точной (без ограничения несмещенности). Это следует из раздела главы 3.

Пример 6. Доверительные интервалы для разности средних в двух нормальных совокупностях с одинаковой дисперсией получаются из критериев гипотезы Если выборки из соответственно, и если то в терминах величин гипотеза принимает вид Из (28) и

(30) мы видим, что РНМ несмещенная область принятия дается неравенством

где С находится из (31). Наиболее точные несмещенные доверительные интервалы для суть

где

Односторонние интервалы получаются аналогичным образом.

Пример 7. Если выборки из то наиболее точные несмещенные доверительные интервалы для находятся с помощью (23) и имеют вид

где вычисляются по (25). При выражение для интервалов упрощается:

определяется по таблицам -распределения. Наиболее точная несмещенная нижняя доверительная граница для отношения дисперсий равна

где дается формулой (22). Если в (22) положить то нижняя доверительная граница А превращается в медианно-несмещенную оценку для . В классе всех таких оценок она минимизирует

(Доказательство см. на стр. 99.)

До сих пор мы предполагали, что критерии, на основе которых строятся доверительные множества, — нерандомизированные. Видоизменения, которые необходимо внести, когда это условие не выполнено, обсуждались в главе 3. Рандомизированные критерии при этом интерпретируются как нерандомизированные, но зависящие от X и вспомогательной переменной V, равномерно распределенной в единичном интервале. Если X — целочисленная величина (как в биномиальной и пуассоновской схемах),

то эти критерии могут быть описаны в терминах непрерывной случайной величины Этим путем мы можем, например, получить наиболее точные несмещенные доверительные интервалы для биномиальной вероятности отправляясь от РНМ несмещенного критерия для гипотезы пример 1 главы 4). Априори неясно, что соответствующие доверительные множества для будут интервалами. Однако это вытекает из следующей леммы.

Лемма 1. Пусть X — действительная случайная величина, плотности которой имеют отношение правдоподобия, монотонное относительно х. Предположим, что РНМ несмещенные критерии для гипотез существуют и имеют области принятия

Пусть, кроме того, эти критерии являются строго несмещенными. Тогда функции строго возрастают по , и наиболее точные несмещенные доверительные интервалы для имеют вид

Доказательство. Пусть и пусть обозначают функции мощности указанных в формулировке критериев для проверки гипотез Из строгой несмещенности этих критериев вытекает, что

Таким образом, ни один из интервалов не содержит другого, и, как видно из леммы 2 (II) главы для Следовательно, функции имеют обратные функции, и неравенства, определяющие область принятия эквивалентны что и требовалось доказать.

Сказанное иллюстрирует рис. 6. По границам области принятия мы находим при каждом фиксированном х доверительное множество это интервал тех значений , для которых

В соответствии с разделом 2 главы 4 условия леммы выполняются, в частности, для однопараметрического экспоненциального семейства, в предположении, что критерии нерандомизированы. В случае распределений биномиального или пуассоновского типа, когда семейство экспоненциально, но X — целочисленная величина (так что требуется рандомизация), доверительные интервалы могут быть получены применением леммы не к Здесь V не зависит от X и распределена равномерно на

В лемме 1 предполагается, что распределение X зависит только от . Рассмотрим теперь экспоненциальное семейство (1), в котором дополнительно к имеются и мешающие параметры. РНМ несмещенные критерии гипотез выступают в этом случае в форме условных критериев при данном Как следствие доверительные интервалы также получаются условным образом.

Рис. 6.

Если условные распределения непрерывны, то области принятия имеют вид

где, по лемме 1, функции являются возрастающими при каждом Поэтому доверительные интервалы суть

Если условные распределения дискретны, то непрерывность достигается введением дополнительной случайной величины, распределенной равномерно.

Пример 8. Пусть независимы и имеют распределения Пуассона со средними значениями Обозначим Условное распределение У при условии является биномиальным с

РНМ несмещенный критерий для гипотезы определяется при каждом как РНМ несмещенный условный критерий для гипотезы Если

суть соответствующие наиболее точные несмещенные доверительные интервалы для при данном то наиболее точные несмещенные доверительные интервалы для имеют вид

Биномиальные критерии, по которым определяются границы рассматривались в примере 1 главы 4.