11. Доверительные границы для функций распределения

Предположим, что есть выборка из совокупности с неизвестной непрерывной функцией распределения пусть надо определить нижние и верхние границы так, чтобы с заданной вероятностью неравенства

выполнялись для всех непрерывных функций распределения Эта задача инвариантна относительно группы состоящей из преобразований

где любая непрерывная строго возрастающая функция. Индуцированное преобразование в пространстве параметров задается формулой

Если есть множество непрерывных функций распределения

тогда

Для инвариантных процедур это множество должно совпадать с множеством

Поэтому принцип инвариантности приводит к условию

Чтобы охарактеризовать совокупность инвариантных процедур, рассмотрим эмпирическую функцию распределения задаваемую формулой

где упорядоченная выборка и где Тогда необходимое и достаточное условие для того, чтобы удовлетворяли указанному выше условию инвариантности, состоит в существовании чисел таких, что

Достаточность этого условия очевидна. Для доказательства необходимости обозначим две точки, удовлетворяющие условию Для заданных существуют такие, что

Если инвариантны, то следовательно, аналогично этому что и требовалось доказать. Это показывает, что будут ступенчатыми функциями, точки разрыва которых совпадают с точками разрыва

Поскольку каждые две непрерывные строго возрастающие функции распределения могут быть преобразованы друг в друга посредством преобразования то вероятность того, что они будут накрыты инвариантной доверительной полосой (см. задачу 48), одна и та же. Предположим теперь, что непрерывна, но не обязательно строго возрастает. Если есть некоторый интервал постоянства то наблюдения не попадают в так что является интервалом постоянства так же и для эмпирической функции распределения. Отсюда следует, что вероятность доверительной полосе накрыть не зависит от наличия интервала следовательно, имеет одно и то же значение для всех непрерывных функций распределения

Для любых чисел определим посредством соотношений

Из сказанного выше видно, что любые числа определяют доверительную полосу для которая инвариантна, и, следовательно, имеет постоянную вероятность накрыть распределение С помощью этих доверительных областей может быть получен критерий согласия для гипотезы о том,

что неизвестное равно некоторому Гипотеза принимается, если лежит целиком внутри полосы, т. е. если

Внутри этого класса не существует РНМ критерия и наиболее удобен выбор для всех Область, в которой для этого критерия, называемого критерием Колмогорова принимается гипотеза может быть тогда записана в виде

Этот критерий является предельным случаем двувыборочного критерия Смирнова, когда число наблюдений во второй выборке стремится к бесконечности.

12. Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

13. Литературные ссылки

Соображения инвариантности использовались в специальных классах задач Хотеллингом и Питменом (см. ссылки в главе I). Общая теория инвариантных и почти инвариантных критериев вместе с главными параметрическими приложениями была дана Хантом и Стейномв неопубликованной работе (1946). В их работе инвариантность не рассматривалась как свойство, желательное само по себе, но как средство получения наиболее строгих критериев (см. главу 8). За исключением этого

расхождения в точке зрения, изложение здесь основано на идеях Ханта и Стейна, с которыми я познакомился во время бесед с Чарлзом Стейном в период 1947—1950.

Область непараметрической статистики, в которой многие основные проблемы еще не решены, находится в настоящее время в процессе стремительного развития. Здесь возможно указать только некоторые из сделанных работ, в частности потому, что многие главные результаты относятся к области больших выборок. Более детальное освещение некоторых аспектов непараметрической статистики дано в книгах Фрезера (1957) и Кендалла (1955) и в обзорных статьях Шеффе (1943), Уилкса (1948), Вольфовица (1949), Морана, Уайтфилда и Даниелса (1950), Кендалла и Сандрума (1953), ван Данцига и Хемельрийка (1954). Обширная библиография приведена у Сэвиджа (1953).

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)