7. Критерии, основанные на перестановках

Допустим, что некоторый способ обработки сравнивается с контрольной ситуацией, где он не применяется. Если результаты измерений представляют собой выборки из нормальных распределений то, как было показано в разделе 3, односторонний -критерий является РНМ несмещенным критерием для проверки при альтернативе Мы рассмотрим теперь эту задачу без предположения о нормальности распределений. Вместо этого мы допустим, что величины выбраны из распределений с

плотностями где -почти всюду непрерывна, а в остальном неизвестна. В этой непараметрической формулировке совместная плотность величин равна

где — семейство всех плотностей вероятности, непрерывных почти всюду.

Если изменчивость в совокупности, откуда берется выборка, велика, то чувствительность эксперимента часто может быть увеличена разбиением этой совокупности на более однородные подгруппы, отправляясь от таких характеристик, как, например, возраст или пол. Затем из подгруппы отбирается элементов, из которых предназначается для контроля, а для обработки по предлагаемому способу. Если результаты, полученные при наблюдениях над подгруппой такой расслоенной выборки, обозначить

то плотность примет вид

Несмещенность некоторого критерия для проверки гипотезы при альтернативе влечет при всех равенство

Теорема 3. Пусть обозначает семейство всех вероятностных плотностей которые непрерывны почти всюду. Равенство (48) выполняется при всех тогда и только тогда, когда

где множество точек, получающихся из перестановкой при каждом с координат гц внутри подгруппы всеми возможными способами.

Доказательство. Установим результат для . Отметим, что совокупность порядковых статистик является полной достаточной статистикой для (пример 6 главы 4). Поэтому условие, необходимое и достаточное Для (48), имеет вид

Множество в рассматриваемом случае состоит из точек, получаемых из всевозможными перестановками координат, так что Из раздела 4 главы 2 следует, что условное распределение при данном приписывает вероятность каждой из точек эквивалентно

что и требовалось доказать. Общий случай доказывается совершенно аналогично и помещен в упражнения (задача 21).

Критерии, удовлетворяющие (49), называются критериями перестановок. Это определение обобщается в задаче 31.