2. Линейные гипотезы и метод наименьших квадратов

В применениях к конкретным проблемам приведение к канонической форме в явном виде проводить неудобно. Статистику соответствующую критерию, можно выразить в терминах первоначальных переменных, если заметить, что является минимальным значением для

при неограниченном изменении величин Так как преобразование ортогонально, а ортогональные преобразования оставляют расстояния неизменными, то

Далее, существует взаимно однозначное соответствие между совокупностью всех -членных наборов и совокупностью векторов из . Следовательно,

где оценки величин при условии т. е. значения, которые минимизируют при условии, что лежит в .

Подобным же образом можно увидеть, что

где величины это значения, минимизирующие при условии, что лежит в Критерий (7) принимает вид

где С определяется из условия (8). Геометрически векторы являются проекциями X на так что треугольник, образованный имеет прямой угол при вершине I (рис. 7). Таким образом, знаменатель и числитель если отвлечься от множителей являются квадратами расстояний между и между соответственно.

Рис. 7.

Поэтому альтернативным выражением для будет

Желательно также выразить в терминах параметр нецентральности Мы имеем

Если правую часть (16) обозначить то Некоторым обобщением линейных гипотез являются неоднородные гипотезы типа: вектор лежит в гиперплоскости содержащейся в и не проходящей через начало. Обозначим подпространство проходящее через начало и параллельное Если некоторая точка то множество состоит из всех точек вида пробегает По. Применяя преобразование (1) к вектор средних значений для

можно представить в канонической форме и совокупность этих векторов описывается уравнениями где координата Поэтому в канонической форме неоднородная гипотеза принимает вид Этот случай приводится к однородному заменой на и, как следует из (7), РНМ несмещенный критерий имеет критическую область

и параметр нецентральности равен

В приложениях обычно бывает более удобным применять преобразование непосредственно к (14) или (15). Из (17) видно, что такое преобразование всегда оставляет знаменатель неизменным. Это можно понять и геометрически, так как рассматриваемое преобразование представляет собой сдвиг пространства параллельно и потому оставляет расстояние — от X до неизменным.

Параметр нецентральности может быть вычислен, как и раньше, заменой X на в преобразованном числителе (16).

Некоторые примеры линейной гипотезы, все с уже обсуждались в главе 5. В дальнейшем два из них рассматриваются с новой точки зрения.

Пример 4. Пусть независимы и распределены нормально с общими средним и дисперсией Рассмотрим гипотезу Здесь прямая начало координат, равны 1. Из тождества

видно, что в то время как Статистика, на которой основан критерий, и равны, следовательно,

При истинности гипотезы распределение таково же, как у квадрата величины, имеющей -распределение Стьюдента с степенями свободы.

Пример 5. В задаче двух выборов, рассмотренной в примере 1, сумма квадратов

минимизируется значениями

в то время как при гипотезе

Числитель статистики (15) равен, следовательно,

Более общая гипотеза сводится к уже рассмотренной заменой на при следовательно, отклоняется при

Параметр нецентральности равен При истинности гипотезы квадратный корень из соответствующей статистики имеет -распределение с степенями свободы.