4. Теорема о слабой компактности

Следующая теорема создает основу для доказательства существования наиболее мощных критериев, наиболее строгих критериев и т. д.

Теорема 3. (Теорема о слабой компактности). Пусть -конечная мера в евклидовом пространстве или, более общим образом, в любом измеримом пространстве (86, в котором обладает счетным множеством образующих. Тогда множество измеримых функций является компактом по отношению к слабой сходимости, определяемой условием (2).

Доказательство. Возьмем любую последовательность Мы должны доказать существование подпоследовательности и функции таких, что

при всех интегрируемых Если конечная мера, эквивалентная то -интегрируема тогда и только тогда, когда -интегрируема, и при всех Поэтому мы можем, без ограничения общности, предположить, что конечна. Пусть последовательность, плотная в классе функций по отношению к сходимости в среднем.

ществование такой последовательности гарантировано теоремой 1 и следующим за ней замечанием. Если

то последовательность ограничена при каждом Можно выбрать подпоследовательность так, что сходится при каждом Для этого применяем следующий диагональный процесс. Рассмотрим сначала последовательность чисел которая обладает сходящейся подпоследовательностью Следующая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность Продолжая этот процесс, положим Тогда и последовательность сходится при каждом Из неравенства

следует, что сходится при всех Обозначим ее предел и определим функцию множества на полагая

Тогда неотрицательна и ограничена, так как при всех К тому же она счетно-аддитивна. Действительно, пусть где не пересекаются. Тогда

и

Здесь второе слагаемое равно нулю в случае конечных сумм в противном случае оно не превосходит величины которая при достаточно большом может быть сделана произвольно малой. При любом фиксированном

первое слагаемое стремится к нулю, когда стремится к бесконечности. Таким образом, представляет собой конечную меру на Она, кроме того, абсолютно непрерывна относительно меры так как влечет при всех и поэтому Мы можем теперь, применяя теорему Радона — Никодима, получить

где Тогда мы имеем

и слабая сходимость последовательности следует из леммы 3.