7. Модель II: одинарная классификация

Мы видели, что способ анализа действия одного или нескольких признаков зависит от того, считаются ли экспериментальные единицы постоянными или же образуют случайную выборку из совокупности таких единиц. То же различие возникает и при изучении эффектов самих факторов. В некоторых применениях они постоянны, а в некоторых других являются не наблюдаемыми случайными величинами. Если размеры эффектов все постоянны или все случайны, то мы говорим о модели I или модели II соответственно; ситуации, где встречаются оба типа, мы обозначаем термином смешанная модель. Ясно, что схемой линейных гипотез, как она определена в начале этой главы, охватывается только модель . В настоящем разделе мы рассмотрим для случая одного фактора (одинарная классификация) модель II. Модель I для этого случая была разобрана в разделе 3.

В качестве иллюстрации рассмотрим какую-либо промышленную продукцию, например сталь, которая производится партиями. Предположим, что из каждой из 5 партий берется выборка объема и что результаты наблюдений независимы и распределены нормально с дисперсией и средними Если бы фактор, соответствующий индексу был постоянен, с одним и тем же эффектом в каждом повторении эксперимента, то мы имели бы

где независимы и распределены по закону Гипотеза об отсутствии эффекта имеет вид или, что эквивалентно, Однако эффект связан с партиями, из которых при каждом повторении эксперимента берется новая часть; поэтому эффект не остается постоянным. Мы допустим, что эффекты, связанные с партиями, образуют выборку из нормального распределения, и, чтобы подчеркнуть их случайную природу, мы будем писать вместо так что

Предположение об аддитивности (т. е. об отсутствии взаимодействия) эффектов, связанных с партией, и индивидуальных эффектов влечет в этой модели независимость случайных величин Если математические ожидания величин включить в И» то все величины будут независимыми нормально распределенными со средними нуль и дисперсиями, равными соответственно. Конечно, величины X уже не будут независимыми.

Гипотеза об отсутствии эффекта партий, т. е. гипотеза о том, что А равны нулю и, следовательно, постоянны, принимает форму

Это предположение в рассматриваемой ситуации нереалистично, но оно может рассматриваться как предельный случай гипотезы

о том, что эффект партий мал по сравнению с изменчивостью материала внутри партии. Этим гипотезам в модели I соответствуют гипотезы

Чтобы получить критерий для удобно начать с того же самого преобразования переменных, которое приводило соответствующую модель I к канонической форме. Каждый набор мы подвергаем ортогональному преобразованию такому, что Так как при (см. пример 3), то из предположения ортогональности следует, что для что, следовательно, при Таким образом, величины независимы и распределены нормально с нулевыми средними значениями дисперсией Они также независимы от поскольку (штрих указывает операцию транспонирования матрицы). С другой стороны, случайные величины также независимы и распределены нормально со средними значениями и дисперсией Если произвести дополнительное ортогональное преобразование вектора в вектор такой, что то величины будут независимыми, нормально распределенными с общей дисперсией и средними при Полагая, по определению, при мы найдем, что совместная плотность величин равна

Проблема проверки инвариантна относительно добавления произвольной постоянной к по отношению к этому преобразованию совокупность остальных величин является максимальным инвариантом. Эта совокупность составлена из двух выборок — объемов и — из нормальных распределений со средними нуль и дисперсиями Гипотеза эквивалентна гипотезе и проблема сводится к задаче сравнения дисперсий двух нормальных распределений, которая рассматривалась в примере 6 главы 6 (без предположения о том, что средние равны нулю). РНМ инвариантный (относительно умножения всех на одну и ту же положительную константу) критерий отклоняет гипотезу, когда

где

Константа С определяется из уравнения

Так как

и

то суммы квадратов, стоящие в числителе и знаменателе выраженные в терминах величины принимают вид

В частном случае, при критерий (43) эквивалентен соответствующему критерию (18) для модели I, но они являются решениями разных проблем и имеют разные функции мощности. Сумма квадратов в числителе пропорциональна обычному даже если гипотеза неверна (в то время как в модели I эта сумма имела нецентральное -распределение). Мощность критерия (43) при альтернативном значении А вычисляется

через -распределение по формуле

Семейство критериев (43) при меняющемся эквивалентно доверительным утверждениям

Соответствующие верхние доверительные границы для А получаются из критериев для гипотез Области принятия для этих последних имеют вид где определяется по (43), равенством а. Соответствующие доверительные границы имеют вид

Как доверительные множества (44), так и доверительные множества (45) инвариантны относительно группы преобразований, порожденной группами, рассматривавшимися при проверке гипотез, и, следовательно, среди инвариантных являются равномерно наиболее точными.

Когда А отрицательно, доверительное множество содержит все возможные значения параметра А. При малых А это будет происходить с большой вероятностью для чего следовало ожидать, так как А должно быть надежной нижней границей для величины, которая равна нулю или очень близка к нему. Более неприятна возможность получить отрицательное значение для А, так что доверительное множество оказывается пустым. Интерпретация подсказывается тем фактом, что это может быть тогда и только тогда, когда гипотеза отклоняется при любых положительных значениях Последнее можно воспринимать как указание на неудачный выбор модели. Правда, следует иметь в виду, что при малых А вероятность события близка к а, даже если требуемые предпосылки выполнены; так что изредка это событие может наблюдаться.

Критерии для гипотез являются не только РНМ инвариантными, но и РНМ несмещенными. РНМ несмещенный критерий существует и для гипотезы при двусторонней альтернативе Это вытекает из того факта, что

совместные распределения величин образуют экспоненциальное семейство. Доверительные множества, связанные с этими тремя семействами критериев, оказываются равномерно наиболее точными в классе несмещенных (см. задачу 19). То обстоятельство, что в модели II существуют оптимальные несмещенные процедуры, а в соответствующей модели I они отсутствуют, объясняется различной структурой двух гипотез. Гипотеза в модели II налагает одно ограничение, так как касается единственного параметра . С другой стороны, соответствующая гипотеза в модели I касается значений 5 параметров Так как из них независимы, то число ограничений равно .