10. Последовательный критерий отношений вероятностей

В соответствии с фундаментальной леммой Неймана — Пирсона, наилучшая процедура проверки простой гипотезы : плотность X равна при простой альтернативе: плотность X равна принимает или отклоняет в зависимости от того, больше или меньше отношение

некоторой надлежаще выбранной константы С. Однако, если не фиксировать объем выборки заранее, но сделать его зависящим от хода наблюдений, то возможны дальнейшие улучшения. Наилучшая, в некотором смысле, процедура доставляется следующим последовательным критерием отношений вероятностей.

Пусть две заданные константы. Предположим, что наблюдения проводятся все время, пока отношение удовлетворяет неравенствам

Гипотеза принимается или отвергается при первом нарушении (33). Эти решения соответствуют неравенствам Качество подобной процедуры измеряется обычно вероятностями отклонения при и принятия кроме того, средним числом наблюдений при

Теорема 8. Среди всех критериев (последовательных или нет), для которых

конечны, последовательный критерий отношений правдоподобия с вероятностями ошибок минимизирует как так и

В частности, последовательный критерий отношений вероятностей требует в среднем меньше наблюдений, чем критерий с фиксированным объемом выборки и такими же вероятностями ошибок. Мы отложим доказательство теоремы до раздела 12. В настоящем и следующем разделах будут указаны основные свойства последовательного критерия отношений вероятностей.

Точное определение границ соответствующих заданным сопряжено с большими трудностями. Поэтому полезны приводимые ниже неравенства. Обозначим часть -мерного пространства, определяемую неравенствами

Это множество тех точек для которых процедура заканчивается на шаге отклонением Тогда

Аналогично, если обозначает часть -мерного пространства, для которой и принимается, то

При этом мы молчаливо предполагали, что

т. е. что вероятность неограниченного продолжения процедуры равна . Доказательство этого факта см. в задачах (34) и (35). Неравенства

наводят на мысль об аппроксимации границ соответствующих заданным и ось величинами

В силу (34) вероятности ошибок в этой приближенной процедуре удовлетворяют неравенствам

откуда

Если, как это типично бывает, и а имеют порядок от , то превышение над оказывается пренебрежимо малым, т. е. с большой точностью можно принять, что ошибки обоих типов ограничены сверху заданными Последнее заключение подкрепляется тем фактом, что Это можно видеть, складйвая неравенства

Единственный серьезный риск, связанный с употреблением приближенных границ, состоит, следовательно, в том, что и могут оказаться намного меньше заданных значений, что приведет к существенному увеличению числа необходимых наблюдений. Однако есть причины надеяться, что это увеличение будет умеренным. Действительно, положим

Тогда (33) превращается в

и если гипотеза отклоняется, то величины удовлетворяют неравенствам

Аппроксимация состоит в замене на

Ошибка, как правило, будет умеренной, так как после наблюдения все еще остается и погрешности не накапливаются, а обусловливаются единственным наблюдением. Аналогичные замечания применимы к другой границе.

Пример 9. Рассмотрим последовательность биномиальных испытаний с постоянной вероятностью успеха Пусть задача состоит в проверке при альтернативе Тогда

В случае, когда отношение рационально, известны точные формулы для вероятностей ошибок и среднего размера выборки, что позволяет оценить результат замены точных на приближенные и Для иллюстрации предположим Тогда и средние размеры выборки для приближенной процедуры равны Имеется и другой план, найденный методом последовательных приближений, для которого . С другой стороны, процедура с фиксированным объемом выборки и вероятностями ошибок к требует 57 наблюдений.

Для определенности мы предположили в определении последовательного критерия отношений вероятностей, что наблюдения продолжаются только то время, пока отношение вероятностей лежит строго между Но рассуждения применимы, в равной мере, и к правилу, по которому наблюдения продолжаются, пока заканчиваются соответствующими решениями, когда впервые или а на границах решения принимаются с некоторыми вероятностями. Термин «последовательный критерий отношений вероятностей» будет применяться и к этой более общей процедуре. Все эти процедуры эквивалентны, когда отношение имеет непрерывное распределение. Однако в случае дискретно распределенных отношений вероятностей целесообразно сохранить возможность рандомизации на границе, с тем чтобы получать в точности заданные вероятности ошибок. Если допустить рандомизацию

также и при решении вопроса: начинать наблюдения, или принять решение без наблюдений, то, как можно показать, достижимы любые наперед заданные вероятности ошибок.