9. Гипотеза симметрии

В разделе 7 было показано, что проверка гипотезы об отсутствии эффекта обработки методом парных сравнений сводится с помощью принципа инвариантности к проверке гипотезы

т. е. к проверке того, что распределение разностей симметрично относительно начала координат. Распределение может быть описано тройкой

В этих терминах гипотеза симметрии распределения относительно начала координат будет эквивалентна гипотезе

Как было показано, инвариантность и достаточность редуцируют данные к рангам положительных величин в ряду абсолютных значений Вероятность, что равна вероятности этого события при условии, что задано, помноженной на вероятность того, что число положительных наблюдений равно Следовательно,

где последний сомножитель дается формулой (18). Если справедлива гипотеза , то эта вероятность равна

для каждой групп удовлетворяющих условию Поэтому каждый ранговый критерий уровня отвергает гипотезу в области, состоящей в точности из таких точек

Альтернатива К о благоприятности эффекта применяемого способа обработки характеризуется тем, что случайная величина стохастически больше, чем некоторая случайная величина, симметрично распределенная около . Представляется естественным искать область, где гипотеза отбрасывается, в виде здесь не будет постоянным, как и в задачах о двух выборках, но зависит от результатов наблюдений. Частными случаями являются одновыборочный критерий Вилкоксона с и аналог критерия Фишера — Иэйтса с где упорядоченные значения величин причем образуют выборку из распределения Тем самым здесь образуют упорядоченную выборку объема из распределения с плотностью, равной едля

Как и в задаче о двух выборках, можно показать, что каждый из этих критериев является наиболее мощным (среди всех инвариантных критериев) для некоторых альтернатив и что они оба оказываются несмещенными при альтернативах класса Их асимптотическая эффективность по сравнению с -критерием, служащим для проверки того, что среднее значение равно нулю, имеет те же самые значения и 1 соответственно, как и для аналогичных двувыборочных критериев, если предположить, что случайные величины нормально распределены.

В некоторых приложениях, например тогда, когда выводы приходится делать на основе данных, полученных при разных экспериментальных условиях или разными методами, было бы нереально считать величины одинаково распределенными. Вместо этого предположим, что все еще остаются независимыми, но их (непрерывные) распределения произвольны. Проверяемая гипотеза состоит в том, что каждое из этих распределений симметрично относительно точки О.

Эта задача остается инвариантной при всех преобразованиях где функции непрерывны, нечетны и строго возрастают. Максимальным инвариантом здесь является число положительных наблюдений и, как это следует из примера 7, существует РНМ инвариантный критерий, а именно критерий знаков, отклоняющий проверяемую гипотезу, когда достаточно велико. Этот критерий отражает тот факт, что размеры самих наблюдений или их абсолютных значений можно всецело

объяснить в терминах «разброса» распределений так что существенны только знаки величин

Часто случается, что величины разумно считать одинаково распределенными, но доверять всецело этому предположению не представляется возможным. В этом случае предпочтительнее было бы использовать информацию, содержащуюся в рангах но потребовать, чтобы применяемый критерий позволял контролировать вероятность ложного отбрасывания гипотезы даже и тогда, когда сделанное предположение неверно. Как показывает нижеследующая лемма, это требование на самом деле выполняется для каждого (симметричного) рангового критерия. Фактически, лемма не требует даже независимости величин будет показано, что каждый симметричный ранговый критерий сохраняет установленный уровень значимости, если только внутри каждой пары предмет обработки выбирается случайным образом.

Лемма 3. Пусть симметричная функция от переменных такая, что

когда величины образуют выборку из некоторого непрерывного распределения которое симметрично относительно начала координат, тогда

если совместное распределение не меняется при преобразованиях

Доказательство. Из условия (20) вытекает, что

где внешнее суммирование распределено на все перестановок а внутреннее — на все возможных выборов знаков Этот факт устанавливается в точности так же, как и в теореме 3 главы 5. Если к тому же функция симметрична, то из (22) следует, что

Предположим, что распределение инвариантно относительно указанных выше преобразований. Тогда условная вероятность каждой комбинации знаков величин при заданных равна 1/2. Следовательно, (23) эквивалентно тому, что

откуда следует (21), что и надо было показать.