ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ПРОБЛЕМА РЕШЕНИЯ

1. Статистические выводы и статистические решения

«Сырьем» для статистического исследования служит совокупность результатов наблюдений; эти результаты представляют собой значения случайных величин X, распределение которых хотя бы частично неизвестно. О параметре предполагается известным лишь то, что это один из элементов некоторого множества (пространства параметров). Статистические выводы используют материал наблюдений для получения информации относительно распределения X (или значения параметра от которого оно зависит). Чтобы прийти к более точной формулировке задачи, мы рассмотрим цели статистических выводов.

Необходимость статистического анализа возникает из того факта, что распределение X, а следовательно, и некоторые черты ситуации, лежащей в основе математической модели, неизвестны. Следствием этого недостаточного знания является неопределенность в выборе наилучшего поведения. Чтобы формализовать понятие «поведения», допустим, что необходимо выбрать одно из нескольких действий. Результаты наблюдений, давая информацию относительно исходного распределения, тем самым указывают путь к наилучшему решению. Задача состоит в определении правила, ставящего в соответствие каждому результату наблюдений решение, которое должно быть принято. С точки зрения математики, такое правило есть функция которая каждому возможному значению х случайных величин приписывает решение т. е. функция, областью определения которой является множество значений X и областью значений — множество возможных решений.

Чтобы понять, как следует выбирать необходимо сравнить последствия использования различных правил. С этой целью предположим, что принятие решения при условии, что распределение X равно приводит к потере, которая может быть выражена неотрицательным числом Тогда средний убыток, возникающий от применения в длинном ряду повторений

эксперимента, приближенно равен математическому ожиданию вычисленному в предположении, что распределением X является Это математическое ожидание, которое зависит от решающего правила и распределения называется функцией риска для и будет обозначаться Принимая решение по результатам наблюдений, мы заменяем первоначальную задачу выбора решения при функции потерь задачей выбора при функции потерь

Приведенные выше рассуждения наводят на мысль о том, что целью статистики является выбор решающей функции, минимизирующей возникающий риск. Как будет видно впоследствии, такое определение цели статистики недостаточно точно, чтобы быть вполне осмысленным; его надлежащая интерпретация в действительности оказывается одной из основных проблем теории.