2. Однопараметрические экспоненциальные семейства

Пусть - действительный параметр и случайный вектор, имеющий по отношению к некоторой мере плотность

Как было показано в главе критерий существует в случаях, когда гипотеза и класс альтернатив К определяются условиями (I) (следствие 2) или (II) или (теорема 6), и не существует в случае (III) или Мы покажем теперь, что в случае (III) существует РНМ несмещенный критерий, задаваемый равенствами

где постоянные С и у находятся из уравнений

Функция мощности непрерывна по теореме 9 главы 2, так что лемма 1 применима. Множество со состоит из двух точек поэтому мы рассмотрим сначала задачу максимизации для , лежащего вне интервала и с учетом ограничений (4). Если задачу сформулировать в терминах то из части (II) теоремы 6 главы 3 вытекает, что ее решение дается формулами (3) и (4). Следовательно, построенный критерий является РНМ в классе критериев, подчиненных (4), и по лемме

1 — в классе всех несмещенных критериев. Как видно из части (III) цитированной теоремы, мощность этого критерия имеет минимум в точке, лежащей между и строго возрастает при удалении от точки минимума влево или вправо,

Проблема проверки при альтернативе близка к уже разобранной. Для нее также существует РНМ несмещенный критерий, определяемый по (3); константы в этом случае находятся из уравнений

Чтобы доказать это, обозначим какую-либо специальную альтернативу и возьмем достаточную статистику распределение которой в соответствии с леммой 7 главы 2 имеет вид

Несмещенность критерия влечет (5) с отсюда же вытекает наличие у функции мощности минимума при По теореме 9 главы 2 функция дифференцируема и ее производная может быть вычислена дифференцированием [7] под знаком математического ожидания, так что для всех критериев

Для а последнее уравнение превращается в

Подстановка в выражение для дает

и, следовательно, несмещенность, в дополнение к (5), влечет

Пусть обозначает множество точек где пробегает совокупность всех критических функций. Тогда выпукло и содержит все точки также содержит точки Это следует из того факта, что существуют критерии с (см. задачу 18 главы 3). Так как по сходным причинам содержит точки то точка является внутренней для Поэтому по теореме 5 (IV) главы 3 существуют константы и критерий удовлетворяющие (5) и (6) с и такие, что при

Эта область представляет собою или полупрямую, или внешнюю часть некоторого интервала. По теореме главы 3 односторонний критерий имеет строго монотонную функцию мощности и потому не может удовлетворять (6). Таким образом, равно 1 при или и наиболее мощный критерий, подчиненный (5) и (6), дается формулой (3). Этот критерий несмещенный, как можно видеть, сравнивая его с Он также является РНМ несмещенным, так как класс критериев, удовлетворяющих (5) и (6), включает класс несмещенных критериев.

Определение критерия можно упростить, если при распределение симметрично относительно некоторой точки а, так что при всех действительных и. Любой критерий, симметричный относительно а и удовлетворяющий (5), непременно удовлетворяет и (6), поскольку Константы находятся поэтому из уравнений

Полученные выше критерии гипотез являются строго несмещенными в том смысле, что их мощность больше а при всех альтернативах . Для первого из этих критериев, определенного формулами (3) и (4), строгая несмещенность является немедленным следствием теоремы 6 (III) главы 3. Действительно, последняя устанавливает, что мощность рассматриваемого критерия имеет минимум в точке между и строго возрастает при удалении от в любом направлении. Второй из этих критериев, определяемый формулами (3), (5) и (6), имеет непрерывную функцию мощности с минимумом размера а при Таким образом, существуют такие, что где Рассматриваемый критерий совпадает, следовательно, с РНМ несмещенным критерием уровня с для проверки гипотезы и его мощность строго возрастает при удалении от в любом направлении. Утверждение доказано.

Пример 1. Пусть X — число успехов в биномиальных испытаниях с вероятностью успеха Теория, которая должна быть проверена, приписывает параметру значение так что ей соответствует гипотеза Отвергая гипотезу обычно стремятся указать, превосходит ли значение или нет. Раз заключение все равно приводит к необходимости дальнейших исследований, то на первом шаге разумно решить, согласуются ли данные с гипотезой или ист. Поэтому формулировка зяцачн, как задачи проверки вышеуказанной гипотезы, вполне приемлема.

РНМ несмещенный критерий проверки дается формулой (3) с Уравнение (5) превращается в

и левая часть может быть подсчитана с помощью таблиц вероятностей отдельных значений и функции распределения Соотношение (6) с помощью тождества

приводится к виду

Левая часть снова может быть подсчитана по таблицам биномиального распределения.

При возрастании распределение величины ( стремится к нормальному Поэтому при не слишком малых объемах выборки и не слишком близком к или 1, распределение X приближенно симметрично относительно точки В этом случае много проще критерий, которому соответствуют «равные хвосты» распределения, т. е. для которого определяются уравнениями

Этот критерий является приближенно несмещенным и хорошо аппроксимирует несмещенный критерий. Ясно, что если велико, то константы можно определять прямо по таблицам нормального распределения.

Пример 2. Пусть выборка из нормального распределения со средним и дисперсией так что плотность X равна

Статистика достаточна для и имеет плотность где

— плотность -распределения с степенями свободы. При меняющемся а эти распределения образуют экспоненциальное семейство, которое встречается также в задаче об испытаниях на продолжительность жизни (см, задачу 13

главы 2) и в задачах, касающихся нормальных распределений с неизвестными средним и дисперсией (раздел 3 главы 5). Область принятия у РНМ несмещенного критерия для гипотезы состоит из точек, для которых

где

Для определения констант из таблиц -Распределения удобно использовать тождество

и переписать второе уравнение в форме

или же можно проинтегрировать по частям и привести второе уравнение к форме

Хорошую аппроксимацию к несмещенному критерию, исключая случаи малых или близких к или дает критерий с «равными хвостами», для которого

Это вытекает из того, что при надлежащей нормировке распределение стремится к нормальному, и, следовательно, распределена асимптотически симметрично.