ГЛАВА 6. ИНВАРИАНТНОСТЬ

1. Симметрия и инвариантность

Многие статистические задачи обладают симметрией, приводящей к естественным ограничениям на статистические процедуры, которые следует использовать. Предположим, например, что независимые случайные величины с плотностями распределения вероятностей соответственно. При проверке гипотезы при альтернативе, состоящей в том, что не все равны, естественно ограничиться рассмотрением только критериев, симметричных относительно значений поскольку в противном случае принятие или отклонение той или иной гипотезы зависело бы (что совершенно не относится к делу) от нумерации этих переменных.

В качестве другого примера рассмотрим круговую мишень с центром в точке О, на которой отмечены следы от попаданий выстрелов. Предположим, что выстрелы совершаются независимо и рассеяние их попаданий характеризуется двумерным нормальным распределением с центром в точке О. В задаче проверки круговой симметрии этого распределения относительно точки О представляется естественным ограничиться рассмотрением критериев, также обладающих подобной симметрией. В противном случае принятие или отклонение гипотез зависело бы от выбора необходимой для описания критерия двумерной системы координат (скажем, декартовой), которая при сделанных предположениях совершенно произвольна и не имеет никакого отношения к рассматриваемой проблеме.

Математическим выражением симметрии является инвариантность относительно подходящей группы преобразований. В первом из рассмотренных выше двух примеров такой группой является группа всех перестановок величин поскольку функция от переменных симметрична тогда и только тогда, когда она остается инвариантной при всевозможных перестановках этих переменных. Во втором примере круговая симметрия

относительно точки О эквивалентна инвариантности относительно вращений около этой точки.

Вообще, пусть случайная величина X имеет распределение вероятностей и пусть преобразование выборочного пространства Все такие преобразования, рассматриваемые в связи с инвариантностью, будут предполагаться взаимно однозначными отображениями 96 на себя. Обозначим через случайную величину, принимающую значения при и предположим, что, когда распределение X есть распределение величины равно с , также принадлежащим Элемент связанный с указанным образом, будет обозначаться так что

Индекс в левой части равенства (1) указывает на распределение случайной величины X, а не Равенство (1) может быть переписано в виде так что

Параметрическое множество остается инвариантным относительно преобразования (или сохраняется при если для всех и если, дополнительно, для каждого существует такое, что Эти два условия можно выразить в форме равенства

Определенное таким образом преобразование множества на себя взаимно однозначно, если только распределения соответствующие различным значениям , различны. В самом деле, пусть Тогда и поэтому для всех А, так что

Лемма 1. Пусть два преобразования, сохраняющие Тогда преобразования определенные формулами

также сохраняют и удовлетворяют соотношениям

Доказательство. Если распределение случайной величины X есть так что распределение равно то распределением величины является Этим устанавливается первое из соотношений (4); доказательство второго проводится аналогично.

Мы будем говорить, что задача проверки гипотезы при альтернативе остается инвариантной относительно преобразования если сохраняет пространства и если в дополнение к (3) выполнено соотношение

Пусть класс преобразований, удовлетворяющий этим двум условиям, и пусть будет наименьший класс преобразований, содержащий и такой, что из следует, что принадлежит Тогда есть группа преобразований, каждое из которых, согласно лемме 1, сохраняет Поэтому любой класс преобразований оставляющий проблему инвариантной, может быть расширен до группы Из леммы 1 также следует, что класс индуцированных преобразований образует группу, скажем, Соотношения (4) выражают тот факт, что гомоморфно группе

При наличии симметрии выборочного и параметрических пространств, выраженной группами естественно ограничиться рассмотрением только симметричных критериев, т. е. критериев, удовлетворяющих соотношению

Критерий удовлетворяющий (6), называется инвариантным относительно группы Ограничения инвариантными критериями есть частный случай применения принципа инвариантности, сформулированного в разделе 5 главы 1, где, равно как и в приведенных ранее примерах, было указано, что преобразование может быть интерпретировано как замена системы координат. С этой точки зрения, критерий будет инвариантным, если он не зависит от выбора частной системы координат, служащей для выражения результатов наблюдений.

Чтобы проблема оставалась инвариантной, преобразование необходимо должно сохранять и класс измеримых множеств, на которых определены распределения Это означает, что каждое множество преобразуется в множество же из и является образом такого же множества, т. е., что оба принадлежат Каждое преобразование, удовлетворяющее этим условиям, называется биизмеримым. Поскольку группа вместе с каждым элементом содержит также и то все ее элементы автоматически биизмеримы, если каждый из них измерим. Если биизмеримы, то таковы же Элементы группы порожденной классом преобразований указанным выше способом, будут все биизмеримыми, если только Таковыми являются преобразования из