4. Теорема Ханта — Стейна

Инвариантные меры существуют (и с точностью до константы) для большого класса групп, но, к сожалению, часто бывают бесконечными и, следовательно, не могут быть взяты в качестве распределений вероятностей. Это явление сходно (и, по существу, связано) с отсутствием пары наименее благоприятных распределений в теореме 1. Трудность обычно можно преодолеть, рассматривая последовательность распределений, которая «в пределе» обладает требуемым свойством. Аналогично, мы обобщим теперь конструкцию как среднего по отношению к правоинвариантной мере, рассматривая последовательность распределений на которые при больших приближенно правоинвариантны.

Пусть семейство распределений на евклидовом пространстве доминированное -конечной мерой и пусть группа преобразований такая, что индуцированная группа оставляет инвариантным.

Теорема 2 (Ханта — Стейна). Пусть -поле подмножеств группы так что для любого множество пар принадлежит и для любых Допустим, что существует последовательность распределений вероятностей на которые асимптотически правоинвариантны в том смысле, что для любых

Тогда, какова бы ни была критическая функция существует критическая функция которая почти инвариантна и удовлетворяет (10).

Доказательство. Пусть

Как и раньше, эта функция измерима и лежит между и 1. По теореме о слабой компактности (теорема 3 в Дополнении) существует подпоследовательность и измеримая функция

лежащая между и 1, для которой

для всех -интегрируемых функций В частности,

при всех По теореме Фубини

так что

удовлетворяет (10).

Чтобы доказать почти инвариантность мы покажем теперь, что для всех

По теореме об ограниченной сходимости (теорема 1 (II) главы 2) отсюда будет следовать, что

при всех а следовательно, что почти всюду), что и требовалось доказать.

Фиксируем выбрав целое разобьем на попарно непересекающиеся множества

где В частности, это множество Из определения множеств видно, что

и, аналогично,

откуда следует, что

В силу (14) первый член в правой части стремится к нулю при стремящемся к бесконечности, и этим доказательство завершается.

Если существует правоинвариантная мера на и последовательность подмножеств естественно пытаться выбрать в качестве вероятностных мер теоремы 2 меры рассматриваемые на В указанном ниже примере это приводит к успеху. С другой стороны, имеются случаи, когда существуют подобные последовательности но нет инвариантных критериев, удовлетворяющих (10), и нет, следовательно, последовательности для которой выполнялось бы (14).

Пример 7. Пусть класс борелевских множеств в -мерном пространстве и группа сдвигов Элементы могут быть представлены действительными числами, и групповое произведение оказывается в этом случае обычной суммой Пусть класс борелевских множеств на прямой. Тогда предположения измеримости, входящие в теорему 2, выполнены. Пусть мера Лебега, которая, очевидно, инвариантна относительно Определим как распределение, равномерное в интервале Тогда для всех

так что (14) выполняется.

Эти рассуждения применимы также и к группе изменений масштаба которая может быть превращена в группу сдвигов переходом к логарифмам.

Редукция максиминной проблемы может быть проведена шаг за шагом в предположениях теоремы 2 главы 6. Допустим, что проблема остается инвариантной по отношению к двум группам Обозначим максимальный инвариант относительно и буквой группу, определенную в теореме 2 главы 6 (которую индуцирует в пространстве Если удовлетворяют условиям теоремы Ханта — Стейна, то, во-первых, существует максиминный критерий, зависящий только от во-вторых, существует максиминный критерий, зависящий только от максимального инварианта относительно

Пример 8. Рассмотрим одномерную линейную гипотезу, в канонической форме которой независимы и распределены по причем дано, что Проверке подлежит гипотеза В разделе 1 главы 7 было показано, что эта проблема инвариантна относительно некоторых групп преобразований и что по отношению к этим группам существует РНМ инвариантный критерий. Указанные группы

являются группами ортогональных преобразований или группами сдвигов типа, рассмотренного в примере 7, или группами изменений масштаба. Так как каждая из этих групп удовлетворяет условиям теоремы Ханта — Стейна и поскольку они оставляют инвариантной проблему максимизации минимума мощности на множестве альтернатив

то РНМ инвариатный критерий главы 7 является решением также и этой максиминной проблемы. Более общим образом критерий, который является РНМ инвариантным (относительно той же самой группы) для проверки

(задача 4 главы 7), максимизирует минимальную мощность на альтернативах (16) для

Пример 9 (Стейн). Пусть группа всех невырожденных линейных преобразований -мерного пространства. При она удовлетворяет условиям теоремы 2, как можно увидеть из нижеследующей задачи, которая инвариантна относительно для которой РНМ инвариантный критерий не максимизирует минимум мощности. Обобщая пример 10 главы допустим, что и независимы и имеют р-мерное нормальное распределение с нулевыми средними и невырожденными матрицами ковариаций Пусть проверке подлежит гипотеза при альтернативе причем предполагаются неизвестными.

Эта проблема остается инвариантной, если оба вектора подвергаются любому (одному и тому же) невырожденному преобразованию, и так как с вероятностью единица эта группа транзитивна на выборочном пространстве, то РНМ инвариантный критерий тривиален: Следовательно, максиминная мощность при альтернативах которая может быть достигнута при использовании инвариантных критериев, равна а. С другой стороны, критерий с критической областью имеет строго возрастающую функцию мощности минимум которой на множестве альтернатив равен

Интересная особенность теоремы 2 состоит в том, что ее предположения касаются только группы а не распределений Если эти предположения выполняются для некоторой группы то, как можно вывести из (10) (путем, указанным в доказательстве леммы 2), для любой проблемы, инвариантной относительно и допускающей РНМ инвариантный критерий, этот критерий максимизирует минимум мощности в любом инвариантном классе альтернатив. Наоборот, допустим, что мы установили, что в некоторой отдельной задаче РНМ инвариантный относительно критерий не максимизирует минимум мощности (как это имело место в группе линейных преобразований примера 9). Тогда предпосылки теоремы 2 не могут быть выполнены. Однако это не исключает той возможности, что

в другой проблеме, инвариантной относительно G, РНМ инвариантный критерий будет максимизировать минимум мощности. Произойдет это или нет — зависит уже не только от группы, но и от семейства распределений.

Рассмотрим, в частности, задачу проверки гипотезы на основе выборки из -мерного нормального распределения со средними и общей матрицей ковариаций Как мы показали в разделе 10 главы 7, эта проблема инвариантна относительно нескольких групп, в число которых входит группа всех невырожденных линейных преобразований -мерного пространства. Кроме того, было установлено существование РНМ инвариантного критерия. Инвариантным относительно этих групп является класс альтернатив

Здесь теорема 2 неприменима, и вопрос о том, будет ли РНМ инвариантный критерий максимизировать минимум мощности при альтернативах (17), остается открытым.