ГЛАВА 8. ПРИНЦИП МИНИМАКСА

1. Критерии с гарантированной мощностью

Обсуждавшиеся до сих пор ограничения — несмещенность и инвариантность — обладают тем недостатком, что они применимы и приводят к оптимальным решениям только в весьма ограниченных классах задач. Поэтому теперь мы обратимся к альтернативному подходу, который потенциально имеет более широкую область применимости. К сожалению, его использование в конкретных задачах приводит к трудностям и может быть успешно проведено главным образом в случаях, когда существуют РНМ инвариантные критерии.

Одна из важных для планирования эксперимента характеристик — число наблюдений, необходимое для того, чтобы результирующая статистическая процедура имела заданную точность или чувствительность. В проблеме проверки гипотез это означает, что вероятности ошибок первого и второго рода не должны превосходить некоторых заданных границ, скажем так что рассматриваемые критерии должны удовлетворять условиям

Если функция мощности непрерывна и то (1) не может выполняться для множеств которые соприкасаются. Эта математическая трудность связана отчасти с тем фактом, что разделение значений параметра на два класса и которым соответствуют два различных решения, часто оказывается не резким. Между значениями, для которых одно или Другое решение очевидным образом правильно, могут лежать Другие, для которых относительные преимущества и недостатки принятия и отклонения гипотезы приближенно

уравновешиваются. Соответственно мы предположим, что разбито на сумму трех множеств

где обозначает зону безразличия, а класс значений параметра, отличающихся от постулируемых гипотезой так сильно, что ложное принятие является серьезной ошибкой, вероятность которой не должна превышать

Чтобы понять, как определяется размер выборки в этой ситуации, предположим, что доступные для наблюдения случайные величины образуют последовательность Допустим на время, что фиксировано, и пусть . В обычной для ряда применений обстановке (точную формулировку см. в задаче 1) существует критерий который максимизирует

в классе всех критериев уровня а, основанных на Обозначим и допустим, что при достаточно больших существует критерий, удовлетворяющий (1). Желаемый размер выборки (т. е. наименьшее для которого определяется в данном случае методом проб. Для этого требуется уметь при каждом фиксированном определить критерий, который максимизирует (2) при условии

Метод отыскания критерия с подобным максиминным свойством (т. е. критерия, максимизирующего минимальную мощность на получается обобщением теоремы 7 главы 3. В последующих рассуждениях удобно изменить обозначения: мы назовем теперь со и со подмножества которые ранее обозначались Пусть семейство распределений вероятностей на пространстве выборок (86, с плотностями по некоторой -конечной мере Допустим, что эти плотности рассматриваемые как функции пары переменных измеримы относительно и где — заданные -поля в . При этих предположениях и при условиях, указываемых в приводимой ниже теореме, критерий с желательными свойствами совпадает с решением надлежаще подобранной байесовской проблемы.

Теорема 1. Пусть любые распределения на пусть наиболее мощный критерий уровня а для проверки

при альтернативе

Пусть у — мощность этого критерия при альтернативе

Если существуют такие, что

то (I) максимизирует в классе всех критериев уровня а для проверки гипотезы ; он является единственным критерием с этим свойством, если единствен наиболее мощный критерий уровня а для проверки при альтернативе

(II) Пара распределений является наименее благоприятной в том смысле, что для любой другой пары

Доказательство. (I) Пусть — любой другой критерий уровня а для проверки Тогда он является критерием уровня а и для проверки простой гипотезы: плотность X равна Поэтому мощность при альтернативе не превосходит Мы имеем

и последнее неравенство будет строгим, если критерий единствен.

(II) Пусть любые другие распределения на и Обозначим

Но как так и являются критериями уровня а для гипотезы: плотность X равна Поэтому

Следствие 1. Пусть два распределения вероятностей, такая постоянная, что

служит критерием уровня а для гипотезы: плотность X равна и что

где

Тогда имеет место заключение теоремы 1.

Доказательство. Определим так же, как в теореме 1. Из наших предположений вытекает, во-первых, что является наиболее мощным критерием уровня а для проверки при альтернативе во-вторых, что

и, в-третьих, что

Таким образом, (4) выполняется, а потому применима теорема 1.

Допустим, что множества определены в терминах неотрицательной функции (измеряющей расстояние от до формулами

Примем также, что функция мощности любого критерия непрерывна по . В пределе, при зона безразличия отсутствует. В этом случае превращается в множество и точная нижняя грань на будет а для любого критерия уровня а. Эта точная нижняя грань максимизируется, следовательно, любым критерием, для которого а при

всех любым несмещенным критерием. Мы видим, что несмещенность получается предельным переходом из максиминного свойства. Другая предельная форма (более полезная, так как она обычно приводит к единственному критерию) дается следующим определением: говорят, что критерий локально максимизирует минимум мощности если, каков бы ни был другой критерий найдется такое, что

Здесь обозначает множество тех , для которых