3. Сравнение средних и дисперсий двух нормальных распределений

Проблема сравнения параметров двух нормальных распределений возникает при сравнении двух методов обработки, сравнении двух продуктов и т. д., при условиях, подобных обсуждавшимся в начале раздела 5 главы 4. Мы рассмотрим сначала задачу сравнения двух дисперсий. Эта задача встречается при сравнении степени изменчивости анализов, сделанных в двух лабораториях или двумя различными методами. Специально мы остановимся на гипотезах

Пусть выборки из нормальных распределений с совместной плотностью

Это есть экспоненциальное семейство с четырьмя параметрами

и достаточными статистиками

Эквивалентное выражение можно получить (см. лемму 2 главы 4) в терминах параметров

и статистик

Гипотезам эквивалентным соответственно, по теореме 3 главы 4 отвечают РНМ несмещенные критерии. При распределение статистики

не зависит от как вытекает из следствия 1, величина V не зависит от Поэтому РНМ несмещенный критерий для дается формулами (2) и (3), так что критическая область имеет вид

При статистика в левой части (20) является отношением двух независимых -величин и причем каждая разделена на соответствующее число степеней свободы. Распределение такого отношения есть -распределение с степенями свободы и с плотностью

Константа в (20) находится из уравнения

Чтобы применить теорему 1 к положим

При эта статистика также не зависит от Кроме того, она линейна по Следовательно, РНМ несмещенная область принятия имеет вид

где константы определяются из уравнений (5) и (6), в которых V заменено на Разделив числитель и знаменатель на мы видим, что при статистика может быть представлена в виде отношения где — независимые -величины степенями свободы, соответственно. Эквивалентным образом, где имеет распределение

распределение есть бета-распределение с плотностью

Условия (5) и (6) с помощью соотношений

и

могут быть превращены в

Определение статистики У показывает, что ее распределение зависит только от отношения а следовательно, и распределение зависит только от отношения Мощность критериев (20) и (23) будет функцией только от Точное выражение для мощности можно получить в терминах -распределения. Например, в первом случае

Гипотеза равенства средних в двух нормальных распределениях с неизвестными дисперсиями (так называемая проблема Берэнса-Фишера), не поддается указанным здесь методам (см. пример 5 главы 4; о возможном подходе к задаче см. раздел 6 главы 6). Мы рассмотрим поэтому лишь простейший случай, в котором дисперсии предполагаются равными. Тогда совместная плотность равна

Это есть экспоненциальное семейство с параметрами

и достаточными статистиками

Для целей проверки гипотез

удобнее представить плотности в экспоненциальной форме с параметрами

и достаточными статистиками

Возможность такого перехода видна из тождества

Как вытекает из теоремы 3 главы 4, существуют РНМ несмещенные критерии для проверки гипотез а потому — и для гипотез

При распределение статистики

не зависит от что можно видеть, заменяя на на Поэтому не зависит от Критическая область для РНМ несмещенного критерия имеет вид или

где

Статистика является отношением двух независимых случайных величин

Числитель этого отношения распределен нормально со средним и единичной дисперсией; знаменатель распределен как квадратный корень из -величины степенями свободы, поделенной на Поэтому имеет нецентральное -распределение с степенями свободы и параметром нецентральности

В частности, при распределение превращается в -распределение Стьюдента и константа определяется из уравнения

Как и прежде, при проверке предположения теоремы 1 не выполняются для самой статистики V, а имеют место для статистики

связанной с V соотношением

При будучи функцией от V, также не зависит от ; к тому же, она является линейной функцией от с коэффициентами, зависящими только от Заметим, что распределение симметрично относительно при Отсюда вытекает, так же как и при выводе формулы (17) для одной выборки, что РНМ несмещенный критерий отвергает ее при слишком больших или, иначе, при

Константа С определяется из уравнения

Мощность Критериев (27) и (30) зависит только от и может быть выражена в терминах нецентрального -распределения. Ее свойства аналогичны свойствам мощности -критерия для одной выборки (задачи 1, 2 и 4).

Так же как и в случае одной выборки, критерии, основанные на -статистике (28), нечувствительны к отклонениям от нормальности, но это утверждение неверно для критериев, основанных на -отношении (20). Доказательство использует те же рассуждения, что и в случае одной выборки. К устойчивости -критерия мы вернемся еще раз в разделе 8, где будет обсуждаться видоизмеренный критерий, размер которого не зависит от исходного распределения.