9. Проверка гипотез о среднем и дисперсии в нормальной совокупности

Проблемы проверки гипотез о среднем и дисперсии нормального распределения особенно важны, так как имеют широкую область применения. Здесь и в аналогичных проблемах в дальнейшем мы предполагаем, что параметр, который не оценивается, — неизвестен; но это не будет указываться при задании гипотезы. Мы будем писать, например, а вместо более точного утверждения а Стандартные (основанные на отношении правдоподобия) критерии гипотез а задаются критическими областями:

и

Критерии для гипотез а получаются заменой знаков неравенств в (29) и (30) на противоположные. Как будет показано в последующих главах, эти четыре критерия являются РНМ как в классе всех несмещенных, так и в классе всех инвариантных критериев. Однако при обычных уровнях значимости только первый из них является

Пусть выборка из Рассмотрим сначала гипотезы и простую альтернативу

Кажется целесообразным предположить, что наименее благоприятное распределение X на -плоскости сконцентрировано на прямой . Так как пара образует достаточную статистику для параметров то можно ограничиться этими величинами. Их совместная плотность при гипотезе равна

а при равна

Как видно, выбор X влияет только на распределение У. Наименее благоприятное X должно, следовательно, обладать тем свойством, что плотность У при .

сближается возможно сильнее с альтернативной плотностью

Начиная с этого места, гипотезы следует рассматривать по отдельности. В первом случае Надлежащим выбором X среднее значение У может быть сделано равным однако дисперсия если и изменится, то только возрастет по сравнению с первоначальным значением Это наводит на мысль что наименее благоприятное распределение приписывает вероятность 1 точке так как при этом распределение У оказывается нормальным и при , и при К, причем среднее будет одно и то же в обоих случаях, а расхождение между дисперсиями будет минимальным. Для (при которой положение будет несколько иным. Если наименее благоприятное распределение имеет плотность, скажем, то плотность У при будет

Это — плотность суммы двух независимых случайных величин, одна из которых распределена по , а другая имеет плотность Если в качестве X выбрать то

распределение У при (как, впрочем, и при К) равно

Мы используем теперь следствие 5 с , предложенным выше. При более удобно оперировать с первоначальными величинами, чем с Из (26) получаем, что при

т. е. при

Чтобы оправдать выбор , мы должны показать, что

в полуплоскости о достигает максимального значения в точке Для любого фиксированного а это выражение равно вероятности того, что случайная точка, координаты которой независимы и имеют распределение попадает внутрь сферы фиксированного радиуса. Это вероятность максимальна, когда центр сферы совпадает с центром распределения, т. е. когда Ее значение при этом равно

где независимы и распределены по Правая часть является убывающей функцией а и потому максимальна при

В случае применение следствия 5 к достаточной статистике показывает, что при

т. е. при

Так как распределение не зависит ни от ни от о, то вероятность не зависит от и возрастает вместе с а, так что условия следствия 5 выполняются. Критерий (32), будучи независимым от является РНМ

для проверки гипотезы а при альтернативе Как видно, он совпадает с критерием отношения правдоподобия (29). С другой стороны, наиболее мощный критерий (31) для проверки гипотезы с при альтернативе не зависит от значения среднего при альтернативной гипотезе, т. е. от

До сих пор неявно предполагалось, что При и гипотезе наши рассуждения применимы без изменений и приводят к (31) с При гипотезе статистика отпадает, и У совпадает с Используя то же , что и раньше, мы видим, что X имеет одно и то же распределение как при так и при К, и критерий принимает вид Последний критерий удовлетворяет условиям следствия 5 и потому оказывается наиболее мощным критерием в рассматриваемой задаче. Мы приходим к выводу, что единственное наблюдение не имеет значения при проверке гипотезы (что интуитивно очевидно), но что оно может быть использовано для проверки если класс альтернатив достаточно узок.

Соответствующее исследование для гипотезы более сложно. Можно показать, что критерий Стьюдента (30) является наиболее мощным при уровне и любой альтернативе Иными словами, этот критерий РНМ при другой стороны, при наиболее мощный критерий для отклоняет гипотезу при где зависят от альтернативы и от а. Таким образом, для уровней значимости, представляющих действительный интерес, РНМ критерий для не существует. Случай не порождает новых задач, так как преобразованием он сводится к уже рассмотренному.