3. Подобие и полнота

Во многих важных задачах подлежащие проверке гипотезы касаются одного действительного параметра, в то время как распределение результатов наблюдений зависит дополнительно от некоторых «мешающих» параметров. В широком классе таких задач существует РНМ несмещенный критерий, который можно отыскать с помощью леммы 1. Но для этого требуется характеристика критериев для которых

при всех распределениях X, принадлежащих заданному семейству Такие критерии называются подобными по отношению к или по следующей причине. Если критерий является нерандомизированным и имеет критическую область , то S «подобна выборочному пространству» в том смысле, что обе вероятности не зависят от

Пусть достаточная статистика для и пусть означает семейство распределений где пробегает со. Тогда любой критерий, для которого

оказывается подобным по отношению к так как

О критериях, удовлетворяющих (7), говорят, что они имеют неймановскую структуру относительно Характерное обстоятельство состоит в том, что вероятность отклонения гипотезы равна а на каждой из поверхностей Так как распределение на каждой из этих поверхностей не зависит от для то условие (7) по существу сводит проблему к проверке простой гипотезы при каждом значении Среди критериев, обладающих неймановской структурой, часто без труда находится наиболее мощный, для чего проблема оптимизации решается на каждой поверхности отдельно. Найденный критерий оказывается наиболее мощным среди всех подобных критериев в предположении, что каждый подобный критерий обладает неймановской структурой. Условия, при которых верно это последнее утверждение, мы сформулируем в терминах следующего определения.

Семейство распределений вероятностей называется полным, если для любой измеримой функции

влечет

В приложениях роль 3 будет играть семейство распределений достаточной статистики.

Пример 3. Рассмотрим независимых испытаний с вероятностью успеха, и пусть равно 1 или , в соответствии с тем, закончилось испытание успехом или нет. Тогда является достаточной статистикой для и семейство возможных распределений равно Для этого семейства из (8) вытекает, что

где Левая часть есть многочлен от все коэффициенты которого должны быть равны нулю. Следовательно, для биномиальное семейство распределений полно (или, что то же самое, -полно).

Пример 4. Пусть выборка из равномерного распределения Тогда является достаточной статистикой для и (8) превращается в

Пусть где обозначают положительную и отрицательную части соответственно.

Тогда

являются мерами на борелевских множествах которые совпадают для всех интервалов, а следовательно, и для всех А. Отсюда вытекает, что за исключением, быть может, множества нулевой меры Лебега. Поэтому почти всюду.

Пример 5. Пусть независимы и распределены нормально по законам соответственно. Тогда совместная плотность этих случайных величин равна

Статистика является достаточной. Она неполна, так как равно тождественному нулю. Однако если имеет среднее которое меняется независимо от то множество возможных значений параметров содержит четырехмерный прямоугольник, и потому, как следует из теоремы 1 (см. ниже), семейство полно,

В широком классе случаев (включающем пример 3) полнота семейств распределений может быть выведена из следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть - случайный вектор с распределением вероятностей

и пусть — семейство распределений статистики при , пробегающем множество . Тогда, если со содержит -мерный интервал, то полно.

Доказательство. Производя, если необходимо, сдвиг в пространстве параметров, мы можем предположить, не ограничивая общности, что о содержит прямоугольник

Пусть функция такова, что

Обозначим меру, индуцированную в пространстве значении Тогда при всех

и, следовательно, в частности,

Разделив на надлежащую константу, мы можем принять, что общее значение последних интегралов равно 1, так что

являются вероятностными мерами, для которых

при всех Рассмотрим теперь эти интегралы, как функции комплексных переменных При любых фиксированных действительные части которых лежат строго внутри промежутка от —а до +a, эти интегралы по теореме 9 главы 2 являются аналитическими функциями в полосе комплексной плоскости. При фиксированных действительных лежащих между —а и равенство интегралов имеет место в интервале и потому верно в полосе в которой интегралы аналитичны. По индукции равенство может быть распространено на многомерную комплексную область

Отсюда, в частности, вытекает, что при всех действительных

Последние интегралы представляют собой характеристические функции распределений соответственно, и по теореме единственности для характеристических функций, распределения должны совпадать. Из их определения следует, что -почти всюду, и потому -почти всюду, что и требовалось доказать.

Пример 6. Пусть независимы и одинаково распределены с функцией распределения где семейство всех непрерывных распределений. Как было показано в разделе главы 2, совокупность порядковых статистик достаточна для Мы докажем теперь полноту распределений Так как статистика эквивалентна в том смысле, что обе индуцируют одно и то же подполе в выборочном пространстве, то также достаточна. Кроме того, полна тогда и только тогда, когда полна статистика Чтобы доказать полноту а тем самым и полноту рассмотрим семейство плотностей

где С — нормирующая константа. Эти плотности определены при всех значениях аргументов , так как интегралы от экспоненты конечны. Соответствующие распределения принадлежат Плотность для выборки объема равна

и эти плотности образуют экспоненциальное семейство То. По теореме полно для а следовательно, и для что и требовалось доказать. (Иное доказательство см. в задачах 12 и 13).

Этот же метод доказательства позволяет установить более общий результат. Пусть независимы и имеют непрерывные функции распределения и пусть обозначают наблюдений расположенных в возрастающем порядке. Тогда система порядковых статистик

достаточна и полна для семейства распределений, получаемого, когда независимо пробегают класс Здесь полнота доказывается рассмотрением подсемейства семейства в котором распределения имеют плотности вида

Для настоящих целей достаточным было бы и более слабое понятие ограниченной полноты: семейство называется ограниченно полным, если (8) влечет (9) для всех ограниченных функций Если полно, то оно тем более ограниченно полно.

Теорема 2. Пусть X — случайная величина с распределением и пусть достаточная статистика для Тогда, чтобы все подобные критерии имели неймановскую структуру относительно необходимо и достаточно, чтобы семейство распределений было ограниченно полным.

Доказательство. Предположим, что ограниченно полно и критерий, подобный относительно . Тогда

и, следовательно, если обозначает условное математическое ожидание разности а при данном то

Так как по лемме 3 главы 2 можно считать, что ограничена, то из ограниченной полноты вытекает почти всюду, что и требовалось доказать.

Обратно, допустим, что не является ограниченно полным. Тогда найдется функция такая, что при некотором при всех с положительной вероятностью при некотором Положим где Тогда критическая функция, так как и она определяет подобный критерий, поскольку а для всех Но не имеет неймановской структуры, так как а с положительной вероятностью по крайней мере для одного распределения класса