6. Характеристика достаточности

Мы можем теперь обобщить определение достаточности, данное в разделе 9 главы 1. Если любое семейство распределений, определенных на одном и том же выборочном пространстве то статистика называется достаточной для (или для ), если для каждого А из можно выбрать вариант условной вероятностной функции не зависящий от . В качестве примера возьмем случай, когда независимы и имеют общую функцию распределения Из примера 7 следует, что совокупность порядковых статистик достаточна для .

Теорема 7. Если — евклидово и статистика достаточна для то найдется вариант условных распределений вероятностей не зависящий от , и такой, что для каждого фиксированного вероятностная мера на

Доказательство. Справедливость утверждения можно усмотреть из доказательства теоремы 4. По определению достаточности мы можем при каждом рациональном выбрать функцию не зависящей от . Получаемое этим путем условное распределение также не будет зависеть от .

В главе 1 понятие достаточности разъяснялось указанием на то, что в некотором смысле достаточная статистика содержит всю доступную информацию. Теорема 7 показывает, что это замечание сохраняет силу в общем случае евклидовых выборочных пространств. Исходя из достаточной статистики мы

можем с помощью случайного механизма построить случайный вектор имеющий то же самое распределение, что и первоначальный вектор Другое обобщение прежнего результата, не связанное с ограничением евклидовыми выборочными пространствами, дано в задаче 11.

Критерий факторизации для достаточных статистик, выведенный в главе 1, может быть распространен на любое доминированное семейство распределений, т. е. на семейство — распределений, обладающих плотностями по отношению к -конечной мере на Доказательство этого утверждения основано на существовании распределения вероятностей (см. теорему 2 в дополнении), эквивалентного в том смысле, что для любого

Теорема 8. Пусть доминированное семейство распределений вероятностей на и пусть удовлетворяет (29). Тогда статистика с пространством значений достаточна для в том и только том случае, когда существует неотрицательная измеримая функция такая, что

Доказательство. Предположим, что достаточна для 8 и пусть подполе, индуцированное Тогда для всех

и так как

т. е. является условной вероятностной функцией также и для Пусть обозначает производную Радона—Никодима для Для доказательства (30) необходимо установить, что является также производной для Последнее следует из приводимых ниже выкладок. В качестве начального шага мы полагаем в первом

из приведенных выше соотношений равным

Здесь второе равенство использует установленное в самом начале доказательства утверждение о том, что условное распределение для третье равенство выполняется, так как подынтегральная функция -измерима и для четвертое равенство — приложение леммы 3 (II); пятое использует определение условных математических ожиданий.

Предположим теперь обратное, т. е. что (30) имеет место. Мы докажем, что условная вероятностная функция является в то же время условной вероятностной функцией для всех Пусть на Для фиксированных А и 6 введем меру на определив ее равенством Тогда на и поэтому

С другой стороны, на следовательно,

Поэтому -почти всюду (а стало быть, и -почти всюду) Так как -почти всюду то это равенство показывает, что -почти всюду, т. е. что является вариантом

Вместо вышеприведенной формулировки, в которой явно участвует распределение X, иногда бывает удобна другая, данная непосредственно в терминах доминирующей меры

Следствие 1. (Теорема факторизации.) Пусть распределения семейства имеют плотности по отношению к -конечной мере Статистика достаточна для тогда и только тогда, когда существуют неотрицательная -измеримая функция на и неотрицательная -измеримая функция на такие, что

Доказательство. Пусть удовлетворяет (29). Тогда, если достаточна, то (31) следует из (30) с Обратно, если выполняется (31), то

и потому где при и может быть определено произвольным образом при