3. Статистики и подполя

В соответствии с определением раздела 1, статистика есть измеримое отображение выборочного пространства в измеримое пространство . Это отображение индуцирует в первоначальном выборочном пространстве подполе

Так как содержит но не обязано с ним совпадать, то подполе не обязано совпадать с , следовательно, может оказаться собственным подполем . С другой стороны, предположим на время, что т. е. что является отображением на (а не в Тогда

так что формула устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами и Это соответствие изоморфно, т. е. сохраняет теоретико-множественные операции пересечения, объединения и перехода к дополнению. Поэтому для большинства целей несущественно, оперировать ли с пространством или с пространством . Эти пространства порождают два эквивалентных класса событий, два класса измеримых функций, возможных решающих процедур и т. п. Если является отображением в то указанное взаимно однозначное соответствие применяется к классу входящих в подмножеств (а не непосредственно к ). Однако любое множество эквивалентно в том смысле, что любая мера на принимает на одинаковые значения. Следовательно, рассматриваемые как классы событий продолжают быть эквивалентными с той лишь

разницей, что содержит несколько (эквивалентных) представлений одного и того же события.

Пусть, например, -действительная прямая, класс борелевских множеств и Пусть означает или положительную полупрямую, или всю прямую, класс борелевских подмножеств Тогда является классом всех борелевских множеств, которые симметричны по отношению к началу координат. Рассматривая, скажем, действительные измеримые функции и оперируя в -пространстве, мы ограничились бы измеримыми функциями от Вместо этого мы могли бы остаться в первоначальном пространстве, и ограничение сводилось бы к обращению только с четными измеримыми функциями х. Эквивалентность подходов очевидна. Какое представление выбрать — это вопрос удобства.

Нижеследующая лемма показывает, что соответствие между множествами продолжается в аналогичное соответствие между измеримыми функциями на и

Лемма 1. Пусть статистика , отображающая в индуцирует подполе Тогда действительная измеримая функция является -измеримой тогда и только тогда, когда существует такая измеримая функция что

при

Доказательство. Предположим сначала, что такая функция существует. Тогда множество

лежит -измерима. Обратно, если -измерима, то множества

при каждом фиксированном попарно не пересекаются, принадлежат сумме дают все . Далее, существуют такие, что Пусть

Так как при и не пересекаются, то множество а вместе с ним и множество пусто. Следовательно, при фиксированном множества попарно не пересекаются и удовлетворяют соотношению Полагая

мы можем написать

где

Так как функции -измеримы, то множество В, на котором сходятся к конечному пределу, входит в . Пусть область значений Тогда для

для всех так что содержится в В. Следовательно, функция g, равная для других случаях, является искомой.

Соотношение между интегралами функций дается следующей леммой.

Лемма 2. Пусть измеримое отображение пространства -конечная мера на , и действительная измеримая функция от Если мера, определенная на равенством

то для любого

в том смысле, что если один из этих интегралов существует, то существует и другой и их значения совпадают.

Доказательство. Не ограничивая общности, допустим, что В совпадает со всем пространством Если является индикатором некоторого множества то утверждение леммы верно, так как правая и левая части (18) приводятся к соответственно, а эти выражения равны, по определению Отсюда (18) переносится последовательно на все простые функции, на все неотрицательные измеримые функции и, наконец, на все интегрируемые функции.