9. Многомерная линейная гипотеза

Одномерная линейная модель раздела 1 возникает при изучении воздействия различных экспериментальных условий (факторов) на единственную характеристику, такую, как размер урожая, вес, продолжительность жизни, давление крови и т. п. Эта характеристика предполагается распределенной нормально со средним, зависящим от исследуемых факторов, и с дисперсией, не зависящей от них. Мы рассмотрим теперь многомерный аналог этой модели, который применим к изучению действия одного или большего числа факторов на несколько характеристик, например, к изучению влияния рациона питания коров на жирность и на количество молока.

Многомерным аналогом действительной нормально распределенной случайной величины является случайный вектор

с многомерной нормальной плотностью вероятности

где матрица положительно определена и обозначает ее детерминант. Средние значения и матрица ковариаций задаются формулами

Рассмотрим теперь я независимых многомерных нормальных векторов со средними и общей матрицей ковариаций Как и в одномерном случае, многомерная линейная гипотеза формулируется в терминах двух линейных подпространств По и -мерного пространства, имеющих размерности соответственно. Предполагается известным, что при всех векторы лежат в ; проверяемая гипотеза утверждает, что они лежат в Эта проблема приводится к канонической форме применением к каждому из векторов ортогонального преобразования (1). Если

и если новые величины суть преобразование может быть записано в следующей матричной форме:

где ортогональная матрица. Чтобы найти совместное распределение величин рассмотрим сначала ковариацию любых двух из них, скажем Используя тот факт, что ковариация величин равна нулю при и равна при мы получаем

Таким образом, строки матрицы X снова являются независимыми многомерными нормальными векторами с общей матрицей

ковариаций Как и в одномерном случае, векторы средних значений должны удовлетворять соотношениям

(равносильным принадлежности и проверяемая гипотеза принимает вид

Изменим обозначения. Буквами будут обозначаться соответственно первые последующие и последние выборочных векторов. Мы приходим тогда к следующей канонической форме. Векторы независимы и имеют -мерные нормальные распределения с общей матрицей ковариаций Дано, что средние величин равны нулю, а проверяемая гипотеза состоит в том, что средние значения величин У также равны нулю. Если

то, как можно показать, принципы инвариантности и достаточности позволяют редуцировать данные наблюдений к двум -матрицам и Поэтому удобно иметь выражение для этих статистик в терминах первоначальных наблюдений. Как и в одномерном случае, обозначим и проекции вектора на и Тогда

представляет собой скалярное произведение двух векторов, каждый из которых есть разность между некоторым вектором и его проекцией на . Отсюда следует, что это выражение остается инвариантным при ортогональных преобразованиях системы координат, в которой выражены результаты наблюдений. Преобразование

можно интерпретировать как запись вектора в новой системе координат, у которой первые 5 координатных осей лежат в . Проекция преобразованного вектора на равна

так что разность между этим вектором и его проекцией равна Элемент, стоящий в матрице на месте, равен

Аналогично, проекция преобразованного вектора на равна и разность между его проекциями на и равна . Мы видим, что сумма 2 равна скалярному произведению разностей этих проекций, вычисленных для векторов. Сравнивая эту сумму с выражением для того же самого скалярного произведения в первоначальной системе координат, мы находим элемент матрицы