ГЛАВА 5. НЕСМЕЩЕННОСТЬ: ПРИМЕНЕНИЯ К НОРМАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМ; ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ

1. Статистики, не зависящие от достаточной статистики

Общий вид РНМ несмещенных критериев для гипотез в экспоненциальном семействе

был указан в теореме 3 предыдущей главы. Однако он оказывается неудобным для применений к нормальному и некоторым другим семействам непрерывных распределений, с которыми нам придется иметь дело в настоящей главе. В этих применениях упомянутым критериям можно придать более удобную форму. Они уже не будут выступать в форме условных критериев, построенных по при данном а будут выражены в терминах одной статистики.

Эта редукция связана с существованием статистики которая не зависит от при и при каждом фиксированном монотонна по или линейна по V (для Критическая функция для проверки тогда имеет вид

где уже не зависят от и определяются из уравнений

Аналогично, критерий для принимает форму

где определяются из уравнений

и

Для соответствующей редукции при гипотезах или требуется монотонность V по V при каждом фиксированном и независимость V от при Критерий в этом случае дается формулой (4), а константы находятся из уравнения

Критерий для как и раньше, имеет критическую функцию

Высказанные утверждения суммируются в следующей теореме.

Теорема 1. Предположим, что распределение X задается формулой (1) и что не зависит от при Тогда является РНМ несмещенным критерием для проверки если функция возрастает по и при каждом является РНМ несмещенным критерием для если

Критерии суть несмещенные РНМ критерии для если V не зависит от при и если возрастает по и для каждого

Доказательство. Критерий для определенный формулами (12) и (13) главы 4, эквивалентен критерию (2) с константами, вычисляемыми из соотношения

По предположению, V не зависит от при следовательно, также не зависят от Этим завершается доказательство для Для оно вполне аналогично.

Критерий гипотезы На, данный в разделе 4 главы 4, эквивалентен критерию (4) с константами и уопределяющимися из уравнений и

Последнее сводится к Так как при не зависит от то тем же свойством обладают величины С, и у что и требовалось доказать.

В специальных случаях применения теоремы 1 независимость может быть установлена стандартными приемами:

преобразованием переменных, с помощью характеристических функций, или геометрическим методом. Другой подход, особенно полезный при отыскании надлежащей статистики V, указывается следующей теоремой.

Теорема 2. Пусть семейство возможных распределений достаточная статистика для 3 и семейство распределений ограниченно полно. Тогда статистика V не зависит от при всех в том и только в том случае, когда распределение V не зависит от

Доказательство. Распределение V не зависит от тогда и только тогда, когда для любой критической функции математическое ожидание не зависит от Необходимое и достаточное условие для справедливости последнего состоит в том, что условное математическое ожидание постоянно -почти всюду (см. теорему 2 главы 4), что эквивалентно независимости

Следствие 1. Обозначим экспоненциальное семейство, получающееся из (1) при фиксированном 6. Тогда статистика V не зависит от при всех в том и только том случае, когда распределение V не зависит от О.

Доказательство. Из теоремы 1 главы 4 следует, что полно, а потому и ограниченно полно. Поэтому можно применить предыдущую теорему.

Пример 1. Пусть независимы и распределены нормально со средним и дисперсией Предположим сначала, что фиксировано и равно Тогда условия следствия 1 выполняются с пропорциональным Пусть любая функция, для которой

Если

то тогда Так как случайные величины имеют распределение не содержащее параметра то распределение V не зависит от Из следствия 1 вытекает, что любая такая статистика, и в частности не зависит от Это верно при всех о.

Допустим теперь, что фиксировано и равно Тогда следствие 1 применимо с Пусть любая функция, для которой

и пусть

Тогда V не изменится, если каждую из величин заменить на Эти величины имеют нормальное распределение со средним

значением нуль и единичной дисперсией. Поэтому распределение V не зависит от а. Мы видим, что все подобные статистики, и в частности

не зависят от Однако это имеет место не при всех но лишь при

Пример 2. Пусть независимы и имеют распределения степенями свободы соответственно. Предположим, что Тогда совместная плотность величин имеет вид

так что следствие 1 применимо с Так как распределение отношения

не зависит от то не зависит от Для специального случая это доказывает независимость и

Пример 3. Пусть выборки из нормальных распределений соответственно. Тогда статистика достаточна для и семейство распределений полно. Так как

не меняется при замене и на то распределение V не зависит ни от одного из четырех параметров, и теорема 2 показывает, что V не зависит от