Главная > Проверка статистических гипотез
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА 5. НЕСМЕЩЕННОСТЬ: ПРИМЕНЕНИЯ К НОРМАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМ; ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ

1. Статистики, не зависящие от достаточной статистики

Общий вид РНМ несмещенных критериев для гипотез в экспоненциальном семействе

был указан в теореме 3 предыдущей главы. Однако он оказывается неудобным для применений к нормальному и некоторым другим семействам непрерывных распределений, с которыми нам придется иметь дело в настоящей главе. В этих применениях упомянутым критериям можно придать более удобную форму. Они уже не будут выступать в форме условных критериев, построенных по при данном а будут выражены в терминах одной статистики.

Эта редукция связана с существованием статистики которая не зависит от при и при каждом фиксированном монотонна по или линейна по V (для Критическая функция для проверки тогда имеет вид

где уже не зависят от и определяются из уравнений

Аналогично, критерий для принимает форму

где определяются из уравнений

и

Для соответствующей редукции при гипотезах или требуется монотонность V по V при каждом фиксированном и независимость V от при Критерий в этом случае дается формулой (4), а константы находятся из уравнения

Критерий для как и раньше, имеет критическую функцию

Высказанные утверждения суммируются в следующей теореме.

Теорема 1. Предположим, что распределение X задается формулой (1) и что не зависит от при Тогда является РНМ несмещенным критерием для проверки если функция возрастает по и при каждом является РНМ несмещенным критерием для если

Критерии суть несмещенные РНМ критерии для если V не зависит от при и если возрастает по и для каждого

Доказательство. Критерий для определенный формулами (12) и (13) главы 4, эквивалентен критерию (2) с константами, вычисляемыми из соотношения

По предположению, V не зависит от при следовательно, также не зависят от Этим завершается доказательство для Для оно вполне аналогично.

Критерий гипотезы На, данный в разделе 4 главы 4, эквивалентен критерию (4) с константами и уопределяющимися из уравнений и

Последнее сводится к Так как при не зависит от то тем же свойством обладают величины С, и у что и требовалось доказать.

В специальных случаях применения теоремы 1 независимость может быть установлена стандартными приемами:

преобразованием переменных, с помощью характеристических функций, или геометрическим методом. Другой подход, особенно полезный при отыскании надлежащей статистики V, указывается следующей теоремой.

Теорема 2. Пусть семейство возможных распределений достаточная статистика для 3 и семейство распределений ограниченно полно. Тогда статистика V не зависит от при всех в том и только в том случае, когда распределение V не зависит от

Доказательство. Распределение V не зависит от тогда и только тогда, когда для любой критической функции математическое ожидание не зависит от Необходимое и достаточное условие для справедливости последнего состоит в том, что условное математическое ожидание постоянно -почти всюду (см. теорему 2 главы 4), что эквивалентно независимости

Следствие 1. Обозначим экспоненциальное семейство, получающееся из (1) при фиксированном 6. Тогда статистика V не зависит от при всех в том и только том случае, когда распределение V не зависит от О.

Доказательство. Из теоремы 1 главы 4 следует, что полно, а потому и ограниченно полно. Поэтому можно применить предыдущую теорему.

Пример 1. Пусть независимы и распределены нормально со средним и дисперсией Предположим сначала, что фиксировано и равно Тогда условия следствия 1 выполняются с пропорциональным Пусть любая функция, для которой

Если

то тогда Так как случайные величины имеют распределение не содержащее параметра то распределение V не зависит от Из следствия 1 вытекает, что любая такая статистика, и в частности не зависит от Это верно при всех о.

Допустим теперь, что фиксировано и равно Тогда следствие 1 применимо с Пусть любая функция, для которой

и пусть

Тогда V не изменится, если каждую из величин заменить на Эти величины имеют нормальное распределение со средним

значением нуль и единичной дисперсией. Поэтому распределение V не зависит от а. Мы видим, что все подобные статистики, и в частности

не зависят от Однако это имеет место не при всех но лишь при

Пример 2. Пусть независимы и имеют распределения степенями свободы соответственно. Предположим, что Тогда совместная плотность величин имеет вид

так что следствие 1 применимо с Так как распределение отношения

не зависит от то не зависит от Для специального случая это доказывает независимость и

Пример 3. Пусть выборки из нормальных распределений соответственно. Тогда статистика достаточна для и семейство распределений полно. Так как

не меняется при замене и на то распределение V не зависит ни от одного из четырех параметров, и теорема 2 показывает, что V не зависит от

1
Оглавление
email@scask.ru