8. Наиболее мощные критерии перестановок

Пусть проверяется гипотеза об отсутствии эффекта предлагаемого способа обработки, причем основой служит расслоенная выборка с плотностью (47). В предыдущем разделе было показано, что в этом случае несмещенность влечет (49). Мы определим сейчас критерий, который удовлетворяет (49) и максимизирует мощность при любой фиксированной альтернативе (47), и, более того, при любой альтернативе с фиксированной плотностью

Мощность критерия при альтернативе равна

Пусть так что Как мы видели в примере 7 и задаче 4 главы 2, условное математическое ожидание при данном равно

Чтобы максимизировать мощность при условии (49), необходимо максимизировать при каждом при этом же условии. Проблема сводится, таким образом, к определению функции которая, подчиняясь условию

максимизирует

По фундаментальной лемме Неймана — Пирсона к этому можно прийти, отклоняя гипотезу для тех из для которых отношение

слишком велико. Поэтому наиболее мощный критерий определяется критической функцией

Для применения критерия точек каждого множества упорядочивают в соответствии с величиной плотности Гипотеза отвергается для больших значений и с вероятностью у для где определяются уравнением

Рассмотрим, в частности, альтернативы (47). Мы видим, что наиболее мощный критерий перестановок зависит от А и потому не будет РНМ критерием.

Особый интерес представляет класс нормальных альтернатив с одинаковой дисперсией

Наиболее мощный критерий при этих альтернативах оказывается не зависящим от Этот критерий уместен и в том случае, когда предполагается приближенная нормальность, но это предположение не является слишком надежным. В этом случае желательно поддерживать размер критерия на уровне а безотносительно к форме плотностей и сделать критерий несмещенным при всех альтернативах (47). Однако внутри класса критериев, удовлетворяющих этим широким условиям, естественно произвести отбор с той целью, чтобы максимизировать мощность при таких альтернативах, которые мы вправе ожидать, т. е. при нормальных альтернативах.

Выбирая как указано выше, запишем (47) в форме

Так как множитель сохраняет на постоянное значение, то критерий (52) отвергает , когда когда

Из значений, которые статистика, входящая в (54), принимает на различных будет только поскольку статистика принимает одинаковые значения в любых двух точках для которых получаются друг из друга перестановкой Поэтому достаточно рассматривать эти различные значения и отклонять для наибольших, а для по величине — отклонять с вероятностью где

Критерий (54) является наиболее мощным при рассматриваемых нормальных альтернативах в классе всех несмещенных критериев уровня а при проверке гипотезы в первоначальном семействе (47) с Чтобы завершить доказательство этого утверждения, остается проверить несмещенность критерия при альтернативах (47). Мы докажем большее, а именно, что этот критерий является несмещенным при всех альтернативах, для которых независимы и имеют функции распределения соответственно, причем стохастически больше чем т. е. при всех Это утверждение вытекает из следующей леммы.

Лемма 2. Пусть выборки из непрерывных распределений пусть критическая функция такая, что ее математическое ожидание равно а, если при влечет

Тогда математическое ожидание функции будет а для всех пар распределений, для которых стохастически больше чем Это математическое ожидание а, если X стохастически больше чем У,

Доказательство. По лемме 1 главы 3 существуют функции и независимые случайные величины такие, что распределения и совпадают с соответственно, и что при всех Тогда

и

Так как при

то такое же неравенство верно и для математических ожиданий обеих частей, т. е. а

Доказательство для случая, когда X стохастически больше чем У, совершенно аналогично. Лемма обобщается и на случай с векторов с распределениями Пусть математическое ожидание функции равно а при не убывает по каждому когда все остальные переменные фиксированы. Как и раньше, математическое ожидание будет а, если случайные величины с распределениями стохастически больше величин с распределениями

Применяя лемму к критерию перестановок (54), достаточно рассмотреть случай поскольку для общего случая рассуждения совершенно аналогичны. Так как при вероятность отклонения гипотезы критерием (54) равна а, остается проверить, что критическая функция удовлетворяет Отметим, что если больше достаточно многих сумм т. е. если достаточное число разностей

положительно. Для отдельной перестановки

где обозначают те из целых которые те из целых которые не входят во множество Если разность положительна и т. е. при то разность — также положительна и, следовательно, удовлетворяет

Такие же рассуждения показывают, что вероятность отклонения гипотезы а, если плотность рассматриваемых величин дается формулой (47) с Поэтому критерий остается пригодным при замене гипотезы на .

Использование критерия перестановок (54) в точной форме возможно только при небольших объемах выборок в противном случае, вычислительные трудности становятся непреодолимыми. При например, для определения критической точки требуется отыскать множества индексов дающих наибольших по величине значений суммам Здесь наибольшее целое, не превосходящее а Если то при будет но уже при величина превосходит 9000. Однако для случая больших выборок можно указать весьма удобную аппроксимацию. Умножая обе части неравенства

на и вычитая затем мы для приведем критическую область к виду или так как знаменатель постоянен на и потому зависит только от Последнее неравенство, как было показано в конце раздела 3, эквивалентно следующему

Критическая область имеет такой же вид, как у -критерия, только константа из (27) заменяется случайной величиной. Можно показать, что при справедливости гипотезы, т. е. когда величины независимы и одинаково распределены, и при условиях не приближается ни к нулю, ни к бесконечности при тип, стремящихся к бесконечности, разность между случайной критической точкой стремится к нулю по вероятности. В пределе, следовательно, критерий

перестановок становится эквивалентным -критерию (27) -(29). Таким образом, при больших объемах выборки критерий перестановок может быть аппроксимирован стандартным -критерием. В точности аналогичный результат справедлив и при Соответствующий -критерий указан в задаче 7 главы 7.