8. Наименее благоприятные распределения

Как следует из теоремы 1, всегда существует наиболее мощный критерий проверки простой гипотезы при простой альтернативе. Возьмем более общий случай. Пусть в евклидовом выборочном пространстве даны мера и функции и являющиеся плотностями по отношению к этой мере. В задаче проверки при простой альтернативе существует наиболее мощный критерий уровня а. Это можно установить, исходя из теоремы о слабой компактности для критических функций (теорема 3 Дополнения); теорему 5 (I).

В теореме 1 для случая простых гипотез указывается также способ построения наиболее мощного критерия. Мы распространим теперь эту теорему на сложные гипотезы, придерживаясь направления теоремы 5 и используя метод неопределенных множителей. Однако результат здесь оказывается заметно менее точным. Он оставляет, по существу, открытым вопрос о выборе множителей, совокупность которых принимает теперь форму произвольного распределения. В конкретных задачах этот выбор сопряжен со значительными трудностями.

С другой точки зрения, наш подход к задаче можно рассматривать, как сведение сложных гипотез к простым. Это достигается введением «взвешенных средних» распределений из Сложная гипотеза заменяется при этом простой гипотезой Нпри которой плотность X определяется формулой

где — распределение вероятностей на . Проблему отыскания надлежащего X часто можно упростить с помощью следующих соображений. Так как не дает информации о точном значении и так как должно быть эквивалентно (с точки зрения альтернативы то естественно требовать, чтобы знание X было как можно «менее полезным». Уточним эту мысль. Допустим, что имеет распределение К. Тогда максимальная мощность которая может быть достигнута при альтернативе соответствует наиболее мощному критерию проверки при альтернативе Назовем распределение X наименее благоприятным (при уровне а), если при всех имеет место неравенство

Теорема 7. Пусть на задано -поле такое, что плотности измеримы по совокупности переменных Предположим, что существует определенное на этом -поле распределение вероятностей X со следующим свойством: наиболее мощный критерий уровня а для проверки при альтернативе имеёт размер а по отношению к первоначальной гипотезе Тогда:

(I) Критерий является наиболее мощным для при альтернативе

(II) Если единственный наиболее мощный критерий уровня а для при альтернативе то он будет единственным наиболее мощным критерием для при альтернативе

(III) Распределение является наименее благоприятным.

Доказательство. Заметим сначала, что также является плотностью по отношению к Действительно, по теореме Фубини (теорема 3 главы 2)

Предположим, что критерий уровня а для , и пусть — любой другой критерий уровня а. Так как при всех то мы имеем

Следовательно, критерий уровня а для и потому его мощность не превосходит мощности Этим доказаны (I) и Пусть теперь — любое распределение. Тогда является критерием уровня а для следовательно, его мощность при альтернативе не превосходит мощности наиболее мощного критерия, а эта последняя по определению равна

Условиям доказанной теоремы можно придать несколько иной вид. Заметим, что может удовлетворять условиям

только тогда, когда множество всех , для которых имеет -меру единица.

Следствие 5. Пусть К — распределение вероятностей на и подмножество , для которого Пусть такой критерий, что

Тогда в предположении,

является наиболее мощным критерием для при альтернативе

Из теоремы 7 легко получаются теоремы 2 и 6. Множество , на котором сосредоточено наименее благоприятное распределение X, в первом из этих примеров состоит из единственной точки а во втором — из двух точек Этого результата естественно было ожидать, так как в обоих случаях в имеются распределения, представляющиеся ближайшими к К. Ниже приводится другой пример, когда наименее благоприятное распределение сосредоточено в одной точке.

Пример 8. Пусть X — характеристика, измеряющая качество изделий некоторого производства. Это может быть, например, величина разрывающего усилия для образцов материала, или длительность горения, или яркость электроламп. Изделие считается удовлетворительным, если X превосходит заданную величину и. Требуется проверить гипотезу где

— вероятность получить дефектное изделие. Пусть значения рассматриваемой характеристики в выборке объема так что независимы и имеют одну и ту же функцию распределения, о которой никаких сведений не имеется. Каждое распределение на прямой может быть охарактеризовано заданием вероятности и условных распределений и величины X при условиях соответственно. Если распределения и имеют плотности например, по отношению к мере то совместная плотность в выборочной точке для которой

оудет равна

Фиксируем теперь определенную альтернативу к , например При этом следовало бы ожидать, что наименее благоприятное распределение на приписывает вероятность 1 распределению так как последнее представляется ближайшим к выбранной альтернативе. При таком выборе К критерий (26) превращается в

(т. е. при или соответственно). Критерий отвергает, следовательно, гипотезу, если число дефектных изделий в выборке слишком мало. Точнее, он достоверно отвергает гипотезу при и отвергает ее с вероятностью у при и у определяются равенством

Распределение числа является биномиальным распределением и не зависит от Как следствие этого, функция мощности критерия зависит только от и является убывающей функцией так что при она принимает свое наибольшее значение для Этим доказано, что X — наименее благоприятно, а критерий — наиболее мощный. Так как критерий не зависит от специального выбора альтернативы, то он оказывается

Выраженная в терминах переменных и статистика на которой основан критерий, равна числу этих переменных . Сам критерий становится при этом критерием знаков (см. раздел 7 главы 4). Он может служить примером непараметрического критерия, так как он выведен без предположений такого рода, как предположения нормальности, равномерности, принадлежности классу законов Пуассона распределения Предположения такого рода оставляют неизвестными лишь некоторые параметры.

С очевидными видоизменениями вышеприведенные рассуждения можно применить к случаю, когда изделие признается удовлетворительным по признаку Такой случай может встретиться, например, если X — длина металлического изделия или пропорция ингредиента в некоторой смеси, для которых заданы некоторые допустимые пределы. Рассуждения применимы и в ситуациях, где X — вектор. Предположим, что изделие считается удовлетворительным только в том случае, когда X попадает в некоторое множество например, если размеры детали или пропорции ингредиентов лежат в заданных пределах. Вероятность дефектного изделия будет при этом равна

будут обозначать условные распределения X при условиях соответственно. Как и прежде, здесь существует РНМ критерий для который отвергает , если число дефектных изделий в выборке достаточно мало. Граница критической области определяется из (28).

Распределение , удовлетворяющее условиям теоремы 7, существует в большинстве обычных статистических задач и, в частности, при следующих предположениях. Пусть выборочное пространство евклидово, — борелевское множество в -мерном евклидовом пространстве, — непрерывно по при почти всех х.

Пусть

для любого ограниченного множества в выборочном пространстве и любой последовательности векторов расстояние которых от начала неограниченно возрастает. Тогда, каково бы ни было существует удовлетворяющее условиям теоремы 7 распределение

Отсюда следует (подобно тому, как следствия 1 и 4 вытекают из теорем 1 и 5), что при выполнении вышеприведенных условий и при существует критерий проверки при альтернативе мощности При этом исключается случай, когда при некотором Последняя возможность осуществляется, например, если являются нормальными плотностями соответственно с (см. стр. 112—113).