ГЛАВА 7. ЛИНЕЙНЫЕ ГИПОТЕЗЫ

1. Каноническая форма

Многие задачи проверки гипотез касаются средних значений нормальных распределений и являются специальными случаями следующей общей одномерной линейной гипотезы. Пусть независимы и распределены нормально со средними значениями и общей дисперсией Известно, что вектор образованный из средних значений лежит в данном -мерном линейном подпространстве и проверяемая гипотеза состоит в том, что лежит в данном -мерном подпространстве входящем в

Пример 1. В задаче о проверке равенства средних в двух выборках из нормальных распределений (рассмотренной в других обозначениях в разделе 3 главы 5) дано, что при при и гипотеза, подлежащая проверке: Пространство натянуто на векторы , т. е. и его точки суть

Аналогично, состоит из всех векторов и, следовательно,

Другая гипотеза, которую можно проверять в этой ситуации, Пространство состоит из одной точки — начала кородинат, т. е. Более общая гипотеза не будет линейной, так как не содержит начала координат. Однако она сводится к предыдущему случаю преобразованием

Пример 2. Задача о регрессии из раздела 6 главы 5 дает другой пример линейной гипотезы. Чтобы согласовать обозначения с употребляемыми здесь, положим где а, неизвестны, известны и не все равны между собой. Здесь - пространство векторов и его размерность равна 2. Проверяемая гипотеза или может быть

или может состоять в том, что один из параметров равен нулю Более общая гипотеза сводится к предыдущей заменой так как

Полиномиальная регрессия и регрессия при нескольких переменных также охватываются схемой линейной гипотезы. Так, если или, более общим образом, где известны, то можно проверять равенство нулю одного или нескольких из коэффициентов регрессии и с помощью замены гипотезы о равенстве этих коэффициентов некоторым заданным значениям, отличным от нуля.

В общем случае гипотезе может быть придан более простой вид ортогональным переходом к новым переменным

таким, что первые векторов-строк матрицы С порождают порождают Тогда равносильно тому, что X лежит в тому, что X лежит в Пусть так что Так как лежит в по предположению и лежит в при гипотезе , то при в обоих случаях при в случае истинности Наконец, раз преобразование ортогональное, то случайные величины снова распределены нормально с общей дисперсией т. е. проблема сводится к следующей канонической форме.

Случайные величины независимы и распределены нормально с общей дисперсией и средними при при так что совместная плотность имеет вид

Величины неизвестны и проверяемая гипотеза

Пример 3. Чтобы проиллюстрировать преобразование (1), рассмотрим еще раз модель регрессии из примера 2. Мы видели, что натянуто на Если проверяется гипотеза то пространство, порожденное первым из этих векторов. Вектор-строка лежит в и имеет длину 1, следовательно, Так как лежит в , имеет длину 1 и ортогонален к то его координаты должны иметь вид а где определяются соотношениями Решая эти уравнения, находим следовательно, а

Остальные векторы-строки С можно взять любыми при условии, что они ортогональны, имеют длину 1 и ортогональны к их явные выражения нам не нужны.

Если проверяется гипотеза то порождается вектором так что координата равна Координаты снова имеют вид а где определяются теперь из уравнений Решая их, находим и, следовательно,

В случае гипотезы состоит из начала координат и в качестве, можно взять два любых ортогональных единичных вектора из Возможен в частности, такой же выбор, как гипотезе Тогда линейная функция, указанная ранее,

Общая линейная гипотеза, записанная в терминах У, остается инвариантной относительно группе преобразований при при При этом максимальные инварианты. Другая группа, оставляющая задачу инвариантной, — группа всех ортогональных преобразований переменных Так как величины с промежуточными индексами не затрагиваются, то из примера 1 (III) главы 6 видно, что максимальными инвариантами относительно будут По соображениям достаточности их можно свести к Наконец, задача остается инвариантной относительно группы изменений масштаба . В пространстве и V эта группа индуцирует преобразование относительно которого является максимальным инвариантом. Таким образом, принцип инвариантности сводит данные к единственной статистике

Каждая из трех групп преобразований осуществляющих вышеуказанную редукцию, индуцирует соответствующую группу в пространстве параметров. Группа это группа сдвигов с максимальными инвариантами Так как каждое ортогональное преобразование индуцирует такое же преобразование величин и оставляет неизменным, то максимальным инвариантом относительно будет Наконец, элементами будут преобразования и поэтому максимальным инвариантом по отношению к этим трем группам преобразований будет

Из теоремы 3 главы 6 вытекает, что распределение зависит только от так что принцип инвариантности сводит дело к проверке простой гипотезы Точное выражение для плотности имеет вид (см. задачи 2 и 3):

где

Для любого отношение является возрастающей функцией и из фундаментальной леммы Неймана — Пирсона вытекает, что наиболее мощный инвариантный критерий для проверки при альтернативе отклоняет гипотезу, если слишком велико, т. е. если

Граничная точка С определяется из условия, что при вероятность отклонения равна а. Так как в этом случае будет отношением двух независимых величин, каждая из которых поделена на соответствующее число степеней свободы, то

распределением служит -распределение с степенями свободы, а С определяется из уравнения

Критерий не зависит от и потому является РНМ в классе всех инвариантных критериев. По теореме 5 главы 6 он будет также РНМ в классе всех критериев, функция мощности которых зависит только от

Критическую область (7) можно также определить неравенством

При левая часть имеет бета-распределение с степенями свободы (см. формулу (24) главы 5), так что С находится из

При альтернативных значениях левая часть (9) имеет нецентральное бета-распределение с параметром нецентральности и с плотностью (задача 3)

Мощность критерия при альтернативе равна

В частном случае, при критическая область (7) сводится к

Это — двусторонний -критерий, который в соответствии с теорией главы 5 (см., например, задачу 5 этой главы) является РНМ несмещенным. С другой стороны, при не существует РНМ несмещенного критерия.