4. Двойная классификация: одно наблюдение в клетке

Гипотеза равенства нескольких средних возникает тогда, когда необходимо сравнить несколько различных способов обработки или процедур, или совокупностей, или проявлений каких-либо факторов. Часто интересуются изучением эффекта более чем одного фактора или эффекта одного фактора при изменении некоторых из условий эксперимента (что играет роль дополнительных факторов). В настоящем разделе мы рассмотрим случай, когда число факторов, влияющих на исход эксперимента, равно двум.

Предположим, что при каждой возможной комбинации интенсивностей обоих факторов производится ровно одно наблюдение. Пусть результат наблюдения, соответствующий случаю, когда первый фактор находится на а второй на уровне. Предполагается, что независимы и распределены нормально с постоянной дисперсией и (на время) что оба фактора действуют независимо (в этом случае говорят, что они аддитивны), так что имеет вид Полагая мы можем написать

где величины однозначно определяются из (24):

Рассмотрим гипотезу

о том, что первый фактор не влияет на исходы испытаний. Эта гипотеза возникает в двух различных обстоятельствах. Интересующим нас фактором, соответствующим нескольким способам обработки, может быть в то время как а соответствует классификации по месту, где производятся наблюдения (ферма, лаборатория, город и т. п.). Указанная гипотеза соответствует предположению о том, что эта вспомогательная классификация не влияет на результаты эксперимента и, следовательно, не должна приниматься во внимание. При другом истолковании фактором, представляющим главный интерес, является а. В этом случае формулировка проблемы как задачи проверки гипотезы была бы чрезмерным упрощением действительного положения, так как в случае отклонения потребовались бы оценки величин а или, по крайней мере, их разбиение на группы больших и малых.

Гипотеза является линейной гипотезой с Оценки параметров в по методу наименьших квадратов могут быть получены из тождества

которое выполняется, так как в разложении третьей суммы квадратов попарные произведения исчезают. Мы имеем

и

При гипотезе имеем, кроме того, и Следовательно, наилучший инвариантный критерий отклоняет гипотезу, когда

Параметр нецентральности, от которого зависит мощность критерия, равен

Эта задача доставляет новый пример применения дисперсионного анализа. Полная изменчивость может быть разбита на три компоненты:

Из них первая описывает изменчивость, обусловленную фактором , а вторая — фактором Последняя компонента в канонической записи раздела 1 имеет вид т. е. это сумма квадратов тех случайных величин, средние которых равны нулю и при Так как эта часть (которая после деления на дает оценку не может быть связана с действием факторов то ее часто называют «ошибкой», подчеркивая этим названием, что она связана со случайностью результатов наблюдения, а не с каким-либо расхождением в средних значениях. В действительности разбиение не является столь отчетливым, как можно вывести из сказанного. Каждая компонента, например, относимая к фактору а, содержит некоторые «ошибки», как можно видеть из величины ее математического ожидания

Вместо проверки гипотезы о наличии эффекта некоторого фактора можно стремиться оценить размер этого эффекта при разных интенсивностях (уровнях) фактора. Другими параметрами, оценка которых может представлять интерес, являются средние значения исходов (например, размер урожая) при различных значениях фактора. Пусть Тогда доверительные множества для получаются рассмотрением гипотезы При проверке гипотезы оценки по методу наименьших квадратов для равны

Как и раньше, сумма квадратов в знаменателе равна а сумма квадратов в числителе теперь равна

Общий случай сводится к этому специальному заменой величин на Так как то гипотеза

отклоняется при

Соответствующие доверительные множества для являются сферами

Рассматривая доверительные множества для эффектов следует иметь в виду, что величины а связаны между собой. Их общая сумма равна нулю и поэтому достаточно ограничиться величинами Однако решение оказывается более легким и более симметричным, если сохранить все а. Критическая область для при получается из (26) заменой и потому имеет вид

Соответствующие доверительные множества состоят из точек для которых и

В пространстве это неравенство определяет шар с центром в гиперплоскости т. е. доверительные множества для величин а состоят из внутренности и поверхности гиперсфер, получающихся в пересечении -мерных сфер с гиперплоскостью

Как в этом, так и в предшествующем случае обычными методами можно показать, что класс доверительных множеств инвариантен относительно подходящей группы линейных преобразований и что среди инвариантных эти множества являются равномерно наиболее точными.