12. «хи квадрат»-критерий: простая гипотеза и неограниченные альтернативы

РНМ инвариантные критерии существуют в довольно узком классе задач, важнейшие из которых, вероятно, связаны с линейными гипотезами. Однако, если число наблюдений велико, то часто можно указать критерии, приближенно обладающие этим свойством. Хотя подробное изложение теории больших выборок не входит в задачи этой книги, здесь приводятся краткие сведения о двух типах критериев подобного рода: критерии и критерии отношения правдоподобия. В обоих случаях приближенная оптимальность вытекает из асимптотической эквивалентности рассматриваемой задачи и некоторой задачи о проверке линейной гипотезы. Эта связь будет прослежена в следующем разделе. В качестве подготовительного шага мы обсудим здесь специальный класс задач, связанных с -критерием.

Удобно начать со следующего видоизменения модели линейной гипотезы. Пусть имеет многомерное нормальное распределение с плотностью вероятности

и с известной матрицей ковариаций Известно, что вектор средних значений лежит в данном -мерном линейном пространстве с Проверяемая гипотеза состоит в том, что лежит в заданном -мерном линейном подпространстве По пространства По Проблема инвариантна относительно подходящей группы линейных преобразований и существует РНМ инвариантный относительно критерий с критической областью

Здесь точка ближайшая к выборочной точке у в смысле метрики, порождаемой квадратичной формой -точка, которая минимизирует выражение при . Аналогично, минимизирует это выражение на

Когда гипотеза верна, левая часть (63) имеет -распределе-ние с степенями свободы, так что С определяется из соотношения

Если не принадлежит то вероятность отклонения гипотезы равна

где нецентральная плотность (см. формулу (86) в задаче 2) с степенями свободы и с параметром нецентральности получаемым заменой величин в (63) их математическими ожиданиями (рассматривая (63) как функцию у, можно сказать, что при этом всюду у заменяется на Указанное выражение для мощности остается верным и тогда, когда принятая модель неудовлетворительна, в том смысле, что не лежит в . В случае второй член в выражении для равен нулю. Доказательство высказанных утверждений получается сведением задачи к проверке линейной гипотезы с помощью надлежащего линейного преобразования (см. задачу 33).

Вернемся к -критерию и рассмотрим его в применении к полиномиальной схеме. Возьмем полиномиальных испытаний с возможными исходами. Обозначим вероятности этих исходов, и пусть число испытаний, закончившихся исходом. Тогда распределение равно

Простейшая из связанных с -критерием задач состоит в проверке гипотезы где дано, при неограниченной альтернативе При мощность критерия, о котором будет идти речь, стремится к единице при любой

фиксированной альтернативе. Для изучения функции мощности такого рода критерия целесообразно рассмотреть последовательность альтернатив стремящихся к при Если скорость сходимости по порядку больше то даже для наиболее мощного критерия мощность будет стремиться к уровню значимости а. Последовательностями, отражающими наиболее интересные стороны поведения функции мощности и дающими, по всей видимости, полезную аппроксимацию действительной мощности при больших, но конечных , являются те, для которых имеет ненулевой предел, так что

где стремится к нулю при Пусть

Тогда и среднее значение У равно нулю при гипотезе и стремится к при альтернативах (67). Матрица ковариаций для У имеет элементы

если гипотеза верна. При альтернативах (67) элементы матрицы ковариаций стремятся к этим значениям. При распределение стремится к многомерному нормальному распределению со средними при при альтернативах (67) и с матрицей ковариаций, определяемой по (69) в обоих случаях. Плотность предельного распределения равна

и проверяемая гипотеза принимает вид

В соответствии с (63) РНМ инвариантный критерий в этой асимптотической модели отвергает гипотезу, когда

т. е. когда

где и где С определяется из (64) с Предельная мощность рассматриваемого критерия при альтернативах (67) вычисляется по формуле (65) с Это дает приближенное представление о мощности при фиксированном и фиксированной альтернативе если отождествить для этого Из (67) мы выводим, что приближенно так что параметр нецентральности принимает вид

Пример 12. Предположим, что проверяемая гипотеза состоит в том, что некоторые события (рождения, смерти, происшествия) происходят равномерно в заданном интервале времени (например, день или год). Разобьем этот интервал на равных частей и обозначим вероятность наступления указанного события в подынтервале. Тогда гипотеза может быть представлена в виде а статистика критерия — в виде

где относительная частота событий в подынтервале. Приближенное значение мощности критерия находится из (65) с