3. Доминируемые семейства распределений

Пусть семейство мер, определенных на измеримом пространстве Говорят, что доминируемо -конечной мерой определенной на если каждый элемент абсолютно непрерывен по отношению к Семейство называется доминируемым, если существует -конечная мера, которой оно доминируемо. Действительно, если является доминируемым, то всегда существует конечная доминирующая мера. В самом деле, допустим, что доминируемо мерой и что конечной для всех Если множества взять взаимно непересекающимися, то мера определенная как

также доминирует и конечна.

Теорема 1. Семейство вероятностных мер на евклидовом пространстве доминируемо тогда и только тогда, когда оно сепарабельно по отношению к метрике (4) или, что эквивалентно, по отношению к сходимости

Доказательство. Допустим сначала, что сепарабельно и что последовательность плотна в и пусть

Тогда влечет для всех и следовательно, для всех Обратно, пусть доминируемо мерой которая без ограничения общности предполагается конечной. Тогда мы должны показать, что множество интегрируемых функций сепарабельно по отношению к сходимости, определенной (5), или, согласно лемме 2, по отношению к сходимости в среднем. Но, исходя из утверждения леммы 1, достаточно доказать, что этим свойством обладает класс всех -интегрируемых функций Так как по определению интеграла каждая интегрируемая функция может быть аппроксимирована в среднем простыми функциями, то достаточно доказать наше утверждение для случая, когда является классом всех простых интегрируемых функций. Любая простая функция может быть аппроксимирована в среднем простыми функциями с рациональными значениями, так что достаточно показать сепарабельность класса функций где рациональны и борелевские множества с конечной -мерой (так как функции интегрируемы). Наконец, достаточно взять в качестве класс

функций индикаторов борелевских множеств с конечной мерой. Однако любое такое множество может быть аппроксимировано конечными суммами непересекающихся прямоугольников с рациональными концами. Множество всех таких сумм счетно, поэтому рациональные линейные комбинации соответствующих индикаторов образуют счетное плотное подмножество

Анализ доказательства показывает, что «евклидовость» пространства была использована лишь для установления факта существования счетного числа множеств таких, что любому конечной мерой соответствует подпоследовательность Это свойство выполняется, вообще, для любого -поля которое обладает счетным множеством образующих, т. е. в котором существует счетное число множеств таких, что является наименьшим -полем, содержащим все

Отсюда следует, что теорема 1 выполняется для любого -поля с таким свойством. В статистических применениях такие -поля встречаются в последовательном анализе, где выборочное пространство 96 есть сумма борелевских подмножеств -мерного евклидова пространства. В этих проблемах множество точек которые требуют ровно наблюдений. Если -поле борелевских подмножеств можно взять в качестве -поле, порожденное так как каждое обладает счетным множеством образующих, то также обладает им.

Если не обладает счетным множеством образующих, то может быть сделано более слабое утверждение. Два семейства мер называются эквивалентными, если равенство для всех влечет для всех и наоборот.

Теорема 2. Семейство вероятностных мер доминируемо -конечной мерой тогда и только тогда, когда имеет счетное эквивалентное подмножество.

Доказательство. Допустим сначала, что имеет счетное эквивалентное подмножество Тогда доминируемо мерой Обратно, пусть 9 доминировано -конечной мерой про которую, без ограничения общности, можно предположить, что она конечна. Пусть класс всех вероятностных мер вида где все с положительны и Класс также доминируется мерой и мы обозначим фиксированный вариант плотности

Докажем эквивалентное теореме утверждение: существует такое, что из следует для всех

Рассмотрим класс V множеств С в для которых существует такое, что -почти всюду на

Пусть стремится к пусть почти всюду на обозначим сумму множеств Тогда совпадает почти всюду с плотностью вероятности положительна почти всюду на так что Допустим теперь, что Пусть любой другой элемент и пусть Тогда поэтому Точно так же и равно нулю. Наконец, неравенство привело бы к тому, что а это противоречит равенству так как а потому и принадлежат .