10. Редукция с учетом инвариантности

Многомерная линейная гипотеза, каноническая форма которой была указана в предыдущем разделе, является инвариантной относительно некоторых групп преобразований. Чтобы найти максимальные инварианты относительно этих групп, нам потребуется, в дополнение к стандартным теоремам о квадратичных формах, также следующая лемма.

Лемма 1. Пусть любая -матрица. Тогда (I) матрица положительно полуопределена, (II) ее ранг равен рангу так что, в частности, не будет вырожденной тогда и только тогда, когда и ранг равен

Доказательство. (I) Рассмотрим квадратичную форму Если то

(II) Сумма квадратов равна нулю в том и только том случае, когда вектор равен нулю. Требуемый результат вытекает теперь из того факта, что решения и системы уравнений образуют линейное пространство размерности где ранг

Мы рассмотрим теперь три группы, относительно которых инвариантна изучаемая проблема.

Группа G. Добавление произвольной постоянной к каждой из величин оставляет проблему инвариантной. Этим

исключаются величины так как совокупность величин образует максимальный инвариант.

Группа G. В процессе приведения проблемы к канонической форме было показано, что ортогональное преобразование

не изменяет ни факта независимости строк матрицы У, ни матрицы ковариаций этих строк. Средние значения векторов У равны нулю в том и только том случае, когда равны нулю средние значения векторов У и, следовательно, проблема остается инвариантной при этих преобразованиях.

Матрица составленная из скалярных произведений векторов-столбцов матрицы У, является инвариантной относительно группы так как Мы покажем, что равенство влечет существование такой ортогональной матрицы С, что Отсюда будет следовать, что матрица является максимальным инвариантом относительно Рассмотрим сначала случай Не ограничивая общности, мы можем предположить, что первые столбцов матрицы У линейно независимы, так как исключительное множество величин У, для которых это не выполняется, имеет меру нуль. Из равенства вытекает, что матрица ортогональна и что а это и требовалось доказать. Предположим теперь, что По-прежнему мы, не ограничивая общности, предположим, что первые столбцов матрицы У линейно независимы. Так как для любых двух -мерных подпространств -мерного пространства существует ортогональное преобразование, переводящее одно из них в другое, то можно предположить, что (после надлежащего ортогонального преобразования) векторов-столбцов матриц лежат в одном и том же -мерном пространстве. Тем самым задача сводится к случаю Если, наконец, то можно предположить, что первые столбцов матрицы V линейно независимы. Обозначая матрицы, образованные первыми и последними столбцами матрицы У, буквами соответственно, так что

мы получим в силу сказанного выше, найдется ортогональная матрица В такая, что Из соотношения вытекает, что чем и завершается доказательство.

Аналогично, проблема остается инвариантной относительно преобразований

для которых максимальным инвариантом служит Редукция к может быть проведена и на основе того факта, что

вместе с образует систему достаточных статистик. Как бы то ни было, при группах данные редуцируются к двум матрицам

Группа Мы наложим теперь ограничение (см. задачу 24), которое обеспечивает наличие числа степеней свободы, достаточного для разумной оценки матрицы ковариаций. Рассмотрим преобразования

где В — любая невырожденная матрица. Эти преобразования действуют раздельно на каждый из независимых нормальных векторов очевидно, оставляют проблему инвариантной. Индуцированные преобразования матриц имеют вид

Так как корни характеристического уравнения

инвариантны относительно этой группы. Покажем, что их совокупность образует максимальный инвариант. Допустим, что уравнения имеют одни и те же корни. Опять-таки не ограничивая общности, мы можем предположить, что первые строк матрицы являются линейно независимыми, так что матрицы имеют ранг По лемме 1 матрица будет положительно определенной и из теорем об одновременном приведении двух квадратичных форм к сумме квадратов вытекает, что существует невырожденная матрица такая, что

где диагональная матрица, элементы которой суть корни уравнения (57), а единичная матрица. Существует также матрица такая что

Таким образом, преобразует в

Среди корней уравнения (57), образующих максимальный инвариант, некоторые могут быть равны нулю. Действительно, так как эти корни являются диагональными элементами матрицы то число ненулевых корней равно рангу а следовательно,

рангу который по лемме 1, равен Если это число больше 1, то РНМ инвариантный критерий не существует. Случай это случай одномерной линейной гипотезы, уже изученный в разделе 1. Мы рассмотрим теперь остающуюся возможность

При уравнение (57) и эквивалентное ему уравнение

имеют только один ненулевой корень. Записывая определитель в форме многочлена по степеням , мы видим, что коэффициенты при степенях , меньших должны быть равны нулю и что поэтому уравнение имеет вид

где сумма диагональных элементов (след) матрицы Пусть обозначает элемент матрицы и пусть единственный У-вектор. Тогда простые вычисления показывают, что

Таким образом, необходимое и достаточное условие инвариантности критерия относительно групп состоит в том, что он зависит только от

Распределение зависит только от максимального инварианта в пространстве параметров, который равен

где Плотность вероятности имеет вид (см. задачи 28—30)

Она совпадает с плотностью (6) статистики для одномерного случая с При любых отношение является возрастающей функцией от Из леммы Неймана — Пирсона вытекает, что наиболее мощный инвариантный критерий для проверки гипотезы отвергает ее при слишком больших или, что то Же самое, при

Величина которая при сводится к квадрату -статистики Стьюдента, по сути дела, является Госстатистикой Хотеллинга. Константа С определяется из того условия, что при статистика имеет -распределение с степенями свободы. Как и в одномерном случае, РНМ инвариантный критерий существует и для более общей гипотезы Его критическая область имеет вид

Так как при инвариантный критерий не существует, то были предложены различные критерии, основанные на тех или иных функциях от корней уравнения (57), например, на сумме корней, на максимуме или минимуме корней, на произведении (это критерий отношения правдоподобия).