4. Доверительные интервалы и семейства критериев

Доверительные границы для параметра соответствующие доверительному уровню , были определены в разделе 5 главы 3. При этом рассматривался случай, когда распределение X зависит только от . При наличии «мешающих параметров» определение нижней доверительной границы имеет вид

Аналогично этому, доверительные интервалы для с доверительным уровнем определяются как множество случайных интервалов с концами такими, что

Точная нижняя грань по левых частей (32) и (33) называется коэффициентом доверия этих утверждений.

Как уже отмечалось в главе 3, доверительные утверждения допускают двойственную интерпретацию. Прежде всего они дают границы для неизвестного параметра и тем самым решение проблемы оценки . Хотя утверждение не является столь точным, как точечная оценка, оно имеет то преимущество,

что вероятность его правильности гарантированным образом не может быть сделана меньше . Аналогично нижнюю доверительную границу можно представлять себе как оценку , которая переоценивает параметр с вероятностью а. В частности, при граница , для которой

одинаково часто недооценивает и переоценивает истинное значение и поэтому называется медианно-несмещенной (относительно связи этого свойства с общим понятием несмещенности см. задачу 3 главы 1).

С другой стороны, как было показано в главе 3, доверительные утверждения можно рассматривать как эквивалент семейства критериев. Нижеследующие рассуждения в значительной степени повторяют сказанное об этом соотношении в главе 3, правда, здесь мы ограничиваемся двусторонними гипотезами. Для каждого обозначим область принятия критерия уровня а для гипотезы (на время мы предположим, что этот критерий — нерандомизированный). Если

то

и, следовательно,

Таким образом, любое семейство областей принятия с уровнем а приводит через соотношение (34) к семейству доверительных множеств с доверительным уровнем .

Обратно, возьмем любой класс доверительных множеств удовлетворяющих (35). Пусть

Тогда множества являются областями принятия с уровнем а для гипотез а доверительное множество показывает при каждом следует ли при данном наблюденном х принимать или отвергать гипотезу (с уровнем а).

Эти же рассуждения применимы, если множества являются областями принятия для гипотез Ниже мы покажем, что, как правило (хотя и не всегда), одно- и двусторонние критерии приводят соответственно к односторонним доверительным границам и к доверительным интервалам.

Пример 4. Доверительные интервалы для среднего значения нормального распределения с неизвестной дисперсией могут быть получены из

областей принятия гипотез Последние даются формулой

где С определяется через -распределение условием, чтобы при вероятность вышеприведенного неравенства была равна (см. формулы (17) и (19) раздела 2). Множество состоит из тех чисел, которые удовлетворяют приведенному неравенству при т. е. заполняют собой интервал

Мы получаем доверительные интервалы для с коэффициентом доверия .

Длина интервала (37) пропорциональна и математическое ожидание его длины пропорционально а. Следовательно, при больших а эти интервалы дают мало информации относительно неизвестного Это следует и из того факта (который порождал аналогичные трудности в задаче проверки гипотез), что нормальные распределения с фиксированной разностью средних становятся неразличимыми при а, стремящемся к бесконечности. Чтобы получить доверительные интервалы для длина которых не стремится к бесконечности вместе с а, необходимо число наблюдений определять последовательным образом, согласованным с величиной а. Последовательная процедура, приводящая к доверительным интервалам заданной длины, указана в задачах 15 и 16.

Однако и эта последовательная процедура в действительности не позволяет избавиться от трудности. Получив возможность контролировать длину интервала, мы теряем контроль над числом наблюдений. При число наблюдений, необходимое для получения доверительного интервала ограниченной длины, также стремится к бесконечности. В практических задачах мы часто имеем представление о порядке величины а. Взяв выборку фиксированного объема или последовательную выборку, мы должны найти компромиссное решение, учитывающее желаемый доверительный уровень , точность, определяемую длиной интервала, и число наблюдений которое нам позволяют наши средства. При таком подходе две из трех величин фиксированы, а третья является случайной величиной, распределение которой зависит от а, так что она менее контролируема, чем другие. Если фиксировать , то выбор между последовательной схемой и схемой с фиксированным объемом выборки определяется тем, что важнее контролировать, или

Чтобы получить нижние доверительные границы для рассмотрим области принятия

для проверки при альтернативе Множества являются односторонними интервалами

левый конец которых и дает искомую нижнюю границу Если то константа равна . Соответствующая доверительная граница

ляется медианно несмещенной оценкой и в классе всех таких оценок равномерно минимизирует