11. Применения

Различные одномерные линейные гипотезы с фиксирующие, например, среднее значение нормального распределения, разность средних значений двух нормальных совокупностей с равными дисперсиями, наклон линии регрессии и т. п., могут быть распространены теперь на многомерный случай.

Пример 8. Пусть выборка из многомерного нормального распределения со средним и матрицей ковариаций причем и то и другое считается неизвестным. Рассмотрим задачу проверки гипотезы . В примере 4 было показано, что

В силу элемент матрицы равен

и по

Критерий основан на статистике (см. (58)) и имеет критическую область (61) с Статистика известна под названием -статистики Хотеллинга.

Пример 9. Пусть независимые выборки из многомерных нормальных распределений с одной и той же матрицей ковариаций и средними Рассмотрим гипотезу для Тогда как следует из примера 5, при всех

и

Следовательно,

и выражение для упрощается:

Помимо задачи проверки вышеприведенных и аналогичных обобщений одномерных гипотез, критерий (61) применим также и к некоторым проблемам, которые сами по себе не укладываются в схему линейных гипотез, как она описана в разделе 9, но сводятся к ней с помощью соображений инвариантности. Пусть выборка из многомерного нормального распределения со средним и матрицей ковариаций Рассмотрим гипотезу о том, что вектор лежит в -мерном подпространстве р-мерного пространства. Обычным образом можно преобразовать результаты наблюдений в величины образующие выборку из р-мерного нормального распределения со средним таким, что проверяемая гипотеза принимает форму

Эта задача остается инвариантной относительно некоторой группы линейных преобразований, для которой максимальным инвариантом является совокупность величин У. В терминах У гипотеза сводится к рассмотренной в примере 8. Следовательно, существует РНМ инвариантный критерий гипотезы , задаваемый формулой Перед тем как доказать, что величины могут быть отброшены, мы укажем два примера задач этого типа.

Пример 10. Пусть выборка из многомерного нормального распределения. Рассмотрим задачу проверки для Она может возникнуть, например, когда суть результаты измерений одного и того же объекта в два различных периода после некоторой обработки. В терминах переменных

гипотеза принимает вид для и РНМ инвариантный критерий получается из критерия примера 8, примененного к величинам У, с заменой на

Пример 11. Пусть выборка из -мерного нормального распределения. Рассмотрим задачу проверки гипотезы . В терминах новых переменных гипотеза снова принимает каноническую форму и задача сводится к разобранной в примере 8 (с заменой на Возьмем конкретный пример: пусть на фабрике имеется машин, производящих некоторую продукцию, качество которой измеряется случайной величиной Эксперимент состоит в том, что рабочих обслуживают каждую из машин; при этом качество, получаемое, когда рабочий с номером а обслуживает машину. Если указанные рабочих выбраны наудачу из большой совокупности, то можно предположить, что векторы образуют выборку из -мерного нормального распределения. Из двух факторов, влияющих на результат эксперимента, один (машины) фиксирован, а другой (рабочие) случаен в том смысле, что повторение эксперимента происходило бы с теми же самыми машинами, но другими рабочими. Проверяемая гипотеза состоит в том, что эффект, связанный с неслучайным фактором, отсутствует. В этой смешанной модели критерий совершенно другой, чем в соответствующей модели I, когда оба эффекта фиксированы (что рассматривалось в разделе 4).

Мы вернемся теперь к общему случаю, когда выборка из -мерного нормального распределения со средним и когда проверяется гипотеза проиллюстрированная примерами 10 и 11. Интерпретируя временно совокупность величин как множество векторов в -мерном пространстве: рассмотрим ортогональное преобразование -мерного пространства, которое переводит причем так, что Допустим, что это преобразование применяется к каждому из наблюдаемых векторов, и пусть оно переводит соответственно. Тогда, в частности, и совокупности случайных величин независимы и имеют -мерные нормальные распределения с одной и матрицей ковариаций и средними значениями при

Полагая

мы видим, что проблема остается инвариантной относительно следующих двух групп преобразований.

Группа Добавление произвольной постоянной к каждой из величин

Группа G. Преобразования

где В — любая матрица порядка любая невырожденная -матрица.

До применения принципа инвариантности удобно редуцировать данные к достаточным статистикам.

Случайные величины вместе с матрицами скалярных произведений и VV образуют систему достаточных статистик для неизвестного вектора средних значений и неизвестной матрицы ковариаций. В соответствии с результатом задачи 1 главы 6, группы оставляют задачу инвариантной и после того, как она сведена к достаточным статистикам. Максимальным инвариантом относительно является совокупность величин и матриц и . Мы докажем теперь, что максимальный инвариант относительно группы, которую индуцирует на этом множестве статистик, образуют и Этим будет завершено желаемое исключение величин V, а вместе с тем и величин

Для доказательства высказанного утверждения необходимо показать, что для любой данной -матрицы V найдутся матрицы такие, что удовлетворяет соотношениям

Геометрически эти уравнения устанавливают, что существуют векторы которые лежат в пространстве натянутом на векторы-столбцы матриц и скалярные произведения которых между собой и на векторы-столбцы имеют заданную величину.

Рассмотрим сначала случай . Если , то можно предположить, что V и столбцы порождают -мерное пространство; тогда можно принять, что Если то можно предположить, что V и столбцы линейно независимы. Тогда существует такой поворот вокруг натянутого на столбцы пространства, который переводит V в вектор лежащий в и этот вектор имеет свойства, требуемые

Доказательство завершается повторным применением полученного результата. Мы применяем его сначала к вектору и определяем первый столбец В и число добавляя к которому нули, мы построим первый столбец матрицы С. Присоединяя преобразованный вектор к и применяя снова указанный результат к вектору мы построим вектор который лежит в пространстве натянутом на и

столбцы и который, кроме того, имеет заданные скалярные произведения с со столбцами и заданный скалярный квадрат. Этим вторым шагом мы определяем второй столбец матрицы В и два числа добавляя к которым нули, получим второй столбец С. Продолжая это построение, мы получим «треугольную» матрицу С с нулями под главной диагональю; эта матрица не вырождена. Так как можно предположить, что имеют максимальный ранг, то из леммы 1 и уравнения следует, что ранг V также максимален. Этим доказательство завершается.