2. Интегрирование

В соответствии с соглашением предыдущего раздела, действительная функция определенная на измерима, если для любого борелевского множества В на прямой. Такая функция называется простой, если она принимает лишь конечное число значений. Пусть мера в простая функция, принимающая различные значения на множествах принадлежащих (так как измерима). Если при то интеграл относительно определяется равенством

Какова бы ни была неотрицательная измеримая функция существует неубывающая последовательность простых функций сходящаяся к Тогда интеграл от определяется формулой

Можно показать, что это определение не зависит от специального выбора последовательности Для любой измеримой функции ее положительная и отрицательная части

также измеримы, и

Если интегралы от и оба конечны, то называется интегрируемой, и ее интеграл полагается равным

Если же один из двух интегралов конечен, а другой бесконечен, то интегралу от приписывается соответствующее бесконечное значение.

Пример 3. Пусть замкнутый интервал класс борелевских или измеримых по Лебегу множеств и мера Лебега. Тогда интеграл от по записывается как и называется интегралом Лебега от

Этот интеграл обобщает интеграл Римана в том смысле, что если последний существует, то и первый существует и имеет то же самое значение.

Пример 4. Пусть — счетное множество, состоящее из точек класс всех подмножеств приписывает точке меру Тогда интегрируема, если ряд сходится абсолютно, и интеграл равен этой сумме.

Пусть распределение вероятностей случайной величины действительная статистика. Если интегрируема, то ее математическое ожидание определяется формулой

Как будет показано в лемме 2 раздела 3 (см. ниже), интегрирование можно также проводить в -пространстве по отношению к распределению даваемому (3), так что

Приведенному выше определению интеграла соответствует следующая основная теорема о сходимости.

Теорема 1. Пусть последовательность измеримых функций и пусть при всех х. Тогда

если выполнено одно из следующих условий:

(I) (Теорема Лебега о монотонной сходимости) неотрицательны и последовательность не убывает.

(II) (Теорема Лебега об ограниченной сходимости) — существует интегрируемая функция такая, что при всех

Для любого множества обозначим его индикатор:

и положим

Если мера и неотрицательная измеримая функция на то

также является мерой на Тот факт, что (11) выполняется для всех выражается записью

Пусть две данные -конечные меры на Если существует функция удовлетворяющая (12), то она этим равенством определяется с точностью до множеств меры нуль, так как из равенства при всех вытекает, что почти всюду. Такая называется производной Радона — Никодима меры по мере в частном случае, когда есть вероятностная мера, плотностью вероятности по отношению к

Вопрос существования функции удовлетворяющей (12), решается в терминах, даваемых следующим определением. Мера называется абсолютно непрерывной по отношению к если

Теорема 2. (Радон — Никодим). Если -конечные меры на то измеримая функция удовлетворяющая (12), существует в том и только том случае, когда абсолютно непрерывна по отношению к

Прямым (или декартовым) произведением двух множеств называется множество всех упорядоченных пар Пусть и два измеримых пространства, и пусть обозначает наименьшее -поле, содержащее все множества вида где Если две -конечные меры на и соответственна то существует единственная мера на ( называемая произведением такая, что для любых

Пример 5. Пусть — евклидовы пространства размерности соответственно, -поля борелевских множеств в этих пространствах. Тогда является -мерным евклидовым пространством, а классом его борелевских множеств.

Пример 6. Пусть случайная величина на Предположим, что случайные величины имеют распределения и на и Тогда называют независимыми, если распределение величины является произведением

В терминах этих понятий сведение двойного интеграла к повторному дается следующей теоремой.

Теорема 3. (Фубини.) Пусть -конечные меры на соответственно, и пусть Если интегрируема относительно , то

(I) для почти всех фиксированных у функция интегрируема относительно

(II) функция интегрируема относительно и