8. Полные классы

Ни один из описанных до сих пор подходов не представляется вполне надежным в том смысле, что рекомендуемая им процедура не является с необходимостью удовлетворительной. Имеются задачи, в которых можно указать процедуру с равномерно наименьшим риском среди всех несмещенных или инвариантных процедур; в то же время существует процедура бьне обладающая этими свойствами беспристрастности, но лучшая (см. задачи 14 и 16). Как было показано раньше, минимаксные процедуры также могут оказаться нежелательными, а успех в применении байесовских или ограниченных байесовских решений связан с наличием априорной информации, которая, если и доступна, то, как правило, не бывает очень надежной. Действительно, кажется вероятным, что при отсутствии надежной априорной информации ни один из принципов, приводящих к единственному ответу, не может быть вполне удовлетворительным.

Это выдвигает возможность, хотя бы в качестве первого шага, не настаивать на единственном решении, но исследовать, сколь сильно может быть редуцирована проблема без потери, относящейся к делу информации. Мы уже видели, что решающая процедура может быть отклонена по той причине, что существует процедура доминирующая ее в том смысле, что

В подобном случае будет называться недопустимой. С другой стороны, будет называться допустимой, если не существует доминирующей ее Класс решающих процедур называют полным, если для любого не принадлежащего существует доминирующее его в Полный класс называют минимальным, если никакой его подкласс не является полным. Если минимальный полный класс существует (что типично), то он совпадает с множеством всех допустимых процедур.

Удобно ввести также следующий вариант понятия полного класса. Класс называют существенно полным, если для каждой процедуры найдется процедура из V, для которой при всех Очевидно, что каждый полный класс является существенно полным. Действительно, оба определения расходятся только в обращении с эквивалентными решающими правилами, т. е. с решающими правилами, имеющими идентичные функции риска. Если принадлежит минимальному полному классу то любое эквивалентное решающее правило также входит в С другой стороны, минимальный существенно

полный класс должен содержать не более одного представителя от каждого множества эквивалентных между собою процедур.

Минимальный, существенно полный класс соответствует максимальной в некотором смысле редукции проблемы решения. С другой стороны, нет никаких причин рассматривать какую-либо из отклоненных (т. е. не входящих в этот класс) процедур. Для каждой из них найдется такая же или лучшая процедура в В то же время этот класс невозможно уменьшить, так как, если даны две процедуры из то иногда одна из них будет лучше, чем другая, и без дополнительной информации нельзя сказать, которая из них предпочтительнее.

Первоначальной заботой статистики было точное определение процедур (или классов процедур) в различных специальных задачах. Наиболее интенсивно изучались проблемы оценки и проблемы выбора между двумя решениями (проверка гипотез), теория которых составляет предмет настоящей книги. Однако некоторые заключения возможны без такой специализации. В частности, при весьма общих условиях были доказаны два результата, касающиеся структуры полных классов и минимаксных процедур:

(I) Совокупность всех байесовских решений и их пределов образует полный класс.

(II) Минимаксные процедуры являются байесовскими решениями по отношению к наименее благоприятному априорному распределению, т. е. такому, которое максимизирует байесовский риск. Минимаксный риск равен этому байесовскому риску. Более общим образом, если не существует наименее благоприятного априорного распределения, а имеется лишь последовательность, для которой байесовские риски стремятся к максимуму, то минимаксные процедуры являются пределами соответствующей последовательности байесовских решений.