5. Наиболее строгие критерии

Одна из практических трудностей, связанных с критериями, максимизирующими минимум мощности на классе состоит в выборе подходящего Если информация, на основе которой можно было бы провести такой выбор, отсутствует и если соображения инвариантности не приводят к естественному определению, то часто разумное определение может быть получено в терминах мощности, достигаемой при различных альтернативах. Огибающая функция мощности была определена в задаче 15 главы 6 формулой

где обозначает мощность критерия и где супремум берется по всем критериям проверки с уровнем а. Таким образом, является максимальной мощностью, которая может быть достигнута при уровне а и альтернативе (то, что супремум достигается, вытекает из теоремы 3 Дополнения при очень слабых ограничениях). Если

две альтернативы, то можно полагать более близкой, равноудаленной или более удаленной от , чем в соответствии с тем, будет ли или

С идеей измерения расстояния от альтернативы до в терминах доступной информации мы уже сталкивались ранее. Если, например, образуют выборку из то проблема проверки может рассматриваться (см. раздел 2 главы 5) с альтернативами измеренными как в абсолютных единицах, так и в -единицах. Последний случай соответствует сделанному выше предположению, так как из соображений инвариантности (задача 15 главы 6) следует, что постоянно на линиях

Фиксируя значение А и принимая в качестве класс альтернатив , для которых мы можем определить критерий, который максимизирует минимум мощности на Другая возможность, которая исключает необходимость выбора значения А, состоит в том, что для любого критерия рассматривается разность Эта разность показывает, насколько действительная мощность меньше, чем максимально достижимая. Критерий, который минимизирует выражение

называют наиболее строгим Таким образом, критерий является наиболее строгим, если он минимизирует максимальную «нехватку» мощности.

Обозначим критерий, который максимизирует минимальную мощность на следовательно, минимизирует максимум разности между на Если окажется, что не зависит от А, то будет наиболее строгим. Это замечание делает возможным применение результатов предыдущего раздела к отысканию наиболее строгих критериев. Допустим, что проблема проверки при альтернативах бей — со остается инвариантной относительно группы что существует РНМ почти инвариантный относительно критерий и что выполняются предположения теоремы 2. Так как следовательно, множество инвариантны относительно (задача 15 главы 6), то мы заключаем, что максимизирует минимум мощности на при каждом А. Стало быть, критерий наиболее строгий.

Как пример применения метода, рассмотрим проблему проверки при альтернативе при всех где вероятность успеха в из последовательности независимых испытаний. В зависимости от того, заканчивается 1-е испытание успехом или неудачей, равно 1 или . В этом случае проблема остается инвариантной по отношению к перестановкам величин X, и РНМ инвариантный критерий имеет

критическую область (пример 7 главы 6). Из сделанных 4 выше замечаний мы выводим, что этот критерий — наиболее строгий.

Другим примером служит общая одномерная линейная гипотеза. В этом случае из рассуждений примера 8 вытекает, что стандартный критерий проверки или является наиболее строгим.

Во многих задачах, к которым неприменимы соображения инвариантности, наиболее строгие критерии до сих пор не найдены. Ниже указывается один класс задач, где эти критерии находятся непосредственно. Пусть распределения X образуют однопараметрическое экспоненциальное семейство с плотностями, определяемыми формулой (12) главы 3. Рассмотрим гипотезу Тогда, в соответствии с тем, будут ли или огибающая функция мощности является мощностью РНМ одностороннего критерия для проверки при альтернативах или Предположим, что существует двусторонний критерий задаваемый формулой (3) главы 4 и такой, что

и что супремум достигается в обеих частях равенства, скажем, в точках Если то применение фундаментальной леммы (теорема 5 (III) главы 3) к точкам показывает, что среди всех критериев только удовлетворяет условию . Для любого другого критерия уровня а имеем: или или т. е. мы видим, что является единственным наиболее строгим критерием. Существование критерия, удовлетворяющего (20), может быть выведено с помощью соображений непрерывности (по отношению к изменению констант которые определяют границу критерия (3) главы 4) из того факта, что для РНМ одностороннего критерия при альтернативах правая часть (20) равна нулю, а левая положительна, в то время как для другого одностороннего критерия имеет место обратное соотношение.

6. Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

7. Литературные ссылки

Идеи и результаты раздела 1, по существу, содержатся в развитой Вальдом для общих проблем решения теории минимакса. Изложение этой теории и некоторых ее применений дано в книге Вальда (1950). Материал разделов 3—5, включая, в частности, лемму 2, теорему 2 и пример 8, составляет основную часть неопубликованной работы Ханта и Стейна (1946).

(см. скан)

(см. скан)