5. Доверительные границы

Теорию РНМ односторонних критериев можно применить к отысканию нижней и верхней границ для действительного параметра 8. Задача отыскания нижней границы возникает, например, когда есть величина разрушающего усилия для нового сплава; отыскание верхней границы необходимо, когда — токсичность медикамента или вероятность нежелательного события. Рассуждения для случая верхней и нижней границ сходны. Поэтому достаточно рассмотреть только случай нижней границы .

Так как должно быть функцией результатов наблюдения, то невозможно требовать, чтобы достоверным образом было меньше . Можно лишь требовать, чтобы вероятность этого события была близка к единице. Выберем число доверительный уровень и ограничимся границами , для которых

Функция называется нижней доверительной границей для , соответствующей доверительному уровню ; точная нижняя грань левой части (14), которая практически обычно равна , называется доверительным коэффициентом .

Границу следует выбирать так, чтобы она удовлетворяла условию (14) и недооценка была возможно меньше. Можно потребовать, например, чтобы вероятность попадания левее любого была минимальна. Функция , для которой

при всех и для которой имеет место (14), называется равномерно наиболее точной нижней доверительной границей для , соответствующей доверительному уровню .

Пусть обозначает меру потерь, возникающих от недооценки , так что при каждом фиксированном функция определена и неотрицательна для и не возрастает по второму аргументу. Тогда желательно минимизировать

при условии (14). Можно показать, что равномерно наиболее точная нижняя доверительная граница минимизирует (16) при условии (14), какова бы ни была функция потерь задачу 17).

Отыскание равномерно наиболее точных нижних доверительных границ облегчается введением более общего понятия, которое будет рассмотрено детальнее в главе 5. Семейство подмножеств пространства параметров является, по определению, семейством доверительных множеств, соответствующих доверительному уровню , если

т. е. если случайное множество покрывает истинную параметрическую точку с вероятностью . Нижняя доверительная граница соответствует специальному случаю, когда есть односторонний интервал

Теорема 4. (I) Рассмотрим для каждого какой-либо критерий уровня а для проверки гипотезы Обозначим область принятия гипотезы. При каждом х определим множество значений параметра, полагая

Тогда является семейством доверительных множеств для с доверительным уровнем .

(II) Если является РНМ критерием уровня а для проверки при альтернативе то минимизирует вероятность

в классе всех семейств доверительных множеств для с доверительным уровнем .

Доказательство. (I) По определению

следовательно,

(II) Если любое другое семейство доверительных множеств уровня и если то

так что является областью принятия для критерия с уровнем а. Из допущений, касающихся вытекает, что

при любом

и что, следовательно,

что и требовалось доказать.

Соотношение эквивалентности (18) описывает структуру доверительных множеств есть совокупность тех значений параметра, для которых принимается в случае, когда наблюдается х. Семейство доверительных множеств связывается, таким образом, с критериями различных гипотез показывая как те значения, при которых гипотеза принимается так и те, при которых она отвергается

Следствие 3. Допустим, что семейство плотностей имеет отношение правдоподобия, монотонное относительно и что функция распределения статистики непрерывна по при каждом фиксированном .

(I) При каждом значении доверительного уровня существует равномерно наиболее точная доверительная граница для .

(II) Если х обозначает наблюденное значение и если уравнение

имеет решение это решение единственно и

Доказательство. (I) Для каждого найдется константа такая, что и по теореме 2 множество но рассматривать как критическую область РНМ критерия уровня а для проверки гипотезы при альтернативе По следствию 1 мощность этого критерия при любой альтернативе превосходит а. Следовательно, и функция С — строго возрастающая. Обозначим соответствующую область принятия: и определим формулой (18). Из монотонности функции С вытекает, что состоит из тех для которых , где

По теореме 4 множества образуют семейство доверительных множеств с уровнем , и это семейство минимизирует при всех т.е. при всех Этим доказано, что — равномерно наиболее точная доверительная граница для .

(II) Из следствия 1 вытекает, что является строго убывающей функцией в каждой точке в которой

Следовательно, (19) имеет не более одного решения. Предположим теперь, что наблюденное значение равно и что уравнение имеет решение Тогда а и, по определению функции Неравенство эквивалентно неравенству а следовательно, . Таким образом, что и требовалось доказать.

При тех же предположениях соответствующая верхняя доверительная граница с коэффициентом доверия является решением уравнения или уравнения

Пример 6. Чтобы определить верхнюю границу степени радиоактивности X радиоактивного вещества, его наблюдают до момента регистрации счетчиком Гейгера частицы. Совместная плотность вероятности для промежутков между регистрациями равна

Пусть обозначает полное время наблюдения. Тогда имеет распределение с степенями свободы и, как показано в примере 3, область принятия для наиболее мощного критерия проверки при альтернативе имеет вид где С определяется уравнением

Множество определенное формулой (18), оказывается совокупностью тех X, для которых как следует из теоремы является равномерно наиболее точной верхней оценкой для Это заключение можно вывести также из следствия 3.

Если X или имеют дискретное распределение, то следствие 3 не может быть непосредственно применено, так как функция распределения не будет непрерывной, и для большинства значений оптимальный критерий для будет рандомизированным. Однако каждый рандомизированный критерий, основанный на X, может быть представлен, как нерандомизированный критерий, зависящий от X и случайной величины распределенной равномерно на (0,1). При этом независимы. При данной критической функции определим критическую область равенством

Тогда, каково бы ни было распределение X

так что имеет ту же самую функцию мощности, что и и эти два критерия эквивалентны. Пара имеет особенно

простое представление, когда X целочисленно. В этом случае статистика

эквивалентна паре так как с вероятностью 1

где обозначает наибольшее целое Распределение непрерывно и доверительные границы можно строить, отправляясь от этой статистики.

Пример 7. Допустим, что мы интересуемся верхней границей для биномиальной вероятности которая может быть, например, вероятностью того, что в дозе вакцины полиомиелита, произведенной в соответствии с определенными правилами, содержится хотя бы один живой вирус. Пусть обозначают исходы испытаний, принимает значения 1 и 0 с вероятностями соответственно. Пусть Тогда имеет плотность

Эти плотности удовлетворяют условиям следствия 3, и верхняя доверительная граница является решением (если оно существует) уравнения

где наблюденное значение Решение существует для всех Для гипотеза при альтернативе принимается при любом и следовательно, Для отклоняется при всех и доверительное множество оказывается пустым. Рассмотрим теперь множества которые равны при а и состоят из одной точки при Они также образуют семейства доверительных множеств с уровнем , так как при всех

С другой стороны, при всех и, следовательно.

Таким образом, семейство множеств минимизирует вероятность покрытия при всех в классе семейств с уровнем . Соответствующая доверительная граница

является равномерно наиболее точной верхней доверительной границей для с уровнем .

На практике, с целью избежать рандомизации и установить границу, не зависящую от дополнительной величины величину обычно заменяют величиной Так как неубывающая функция то получаемая на этом пути верхняя доверительная граница оказывается несколько завышенной; в качестве компенсации она приводит к большей вероятности попадания в область правее истинного

Пусть обозначают нижнюю и верхнюю границы для с Доверительными коэффициентами и предположим,

что при всех х. Так, например, будет в условиях следствия 3, если Интервалы (0,0) являются в этом случае доверительными интервалами для с доверительным коэффициентом они содержат истинное значение параметра с вероятностью так как

Если границы и равномерно наиболее точные, то они минимизируют, при данном уровне, математические ожидания при любой не возрастающей по при и равной при , и при любой не убывающей по при и равной при . Полагая

мы видим, что интервалы (0,0) минимизируют при условиях

Примером подобной функции потерь может служить

что представляется естественной мерой точности интервалов. Отметим, что действительная длина не была бы столь же осмысленной мерой, так как короткие интервалы, лежащие далеко от истинного , не дают никакой выгоды.

Важный предельный случай соответствует уровням В предположениях следствия 3 и при условии, что область, где плотность положительна, не зависит от , так что критерии мощности 1 невозможны при верхняя и нижняя доверительные границы и совпадают. Их общее значение удовлетворяет соотношению

и оценка для в равной степени как недооценивает , так и переоценивает его. Оценки с этим свойством называются медианно несмещенными (о соотношении этого понятия несмещенности с другими см. задачу 3 в главе 1). Из вышеприведенных

результатов вытекает, что среди всех медианно несмещенных оценок минимизирует при любой функции потерь, которая для фиксированного имеет нулевой минимум при и не убывает по мере удаления от вправо или влево. Полагая, в частности, при и в других случаях, мы заключаем, что в классе всех медианно несмещенных оценок минимизирует вероятность отклонения от большего заданной величины. Более общим образом максимизирует вероятность

при любых