4. Сравнение экспериментов

Предположим, что для проверки простой гипотезы при простой альтернативе К возможно провести различные эксперименты. Допустим, что результатом одного эксперимента является случайная величина X, которая имеет плотность при гипотезе ; результатом другого эксперимента пусть будет X с плотностью Обозначим мощности наиболее мощных критериев, основанных на соответственно. В общем случае соотношение между зависит от а. Однако, если при всех а, то X или эксперимент будет называться лучше информирующим, чем Рассмотрим, например, экспоненциальное семейство плотностей (см. (12)) и примем

Тогда, в силу теоремы 2, эксперимент лучше информирует, чем

Простое достаточное условие того, чтобы X лучше информировало, чем состоит в том, что существуют функция и случайная величина не зависящая от X и имеющая известное распределение, такие, что плотность равна или если плотность X равна или Так же как и в теории достаточных статистик, это утверждение вытекает из возможности построить, исходя из X (с помощью ) случайную величину У, эквивалентную Можно рассуждать также следующим образом. Пусть -наиболее мощный критерий уровня а для проверки при альтернативе Положим Тогда как при , так и при К. Критерий имеет уровень а и мощность следовательно,

В случаях, когда указанная функция существует, мы будем говорить, что эксперимент достаточен для Тогда, если суть выборки из распределений, соответствующих , то первая из этих выборок лучше информирует, чем вторая. Она также лучше информирует, чем где каждое из с некоторой вероятностью равно или

Пример 4. Каждый элемент совокупности обладает или не обладает одним из двух признаков — А и В. Необходимо проверить гипотезу о независимости этих признаков. Вероятности (т. е. доли объектов, обладающих признаками предполагаются известными. Это знание может проистекать оттого, что ранее каждый из признаков был исследован по отдельности. Вероятности четырех возможных комбинаций как вычисленные при гипотезе независимости, так и вычисленные при альтернативе, что равно некоторому заданному приведены в следующей таблице:

(см. скан)

Допустим, что экспериментальный материал доставляется выборкой объема Эта выборка может быть взята, например, наудачу из числа элементов совокупности, которые обладают признаком А. Для каждого элемента выборки отмечают, обладает он признаком В или нет, т. е., следовательно, имеют дело с выборкой из биномиального распределения с вероятностями

Вместо А можно было бы взять какой-нибудь из остальных признаков. При этом каждый раз получалась бы выборка из биномиального распределения. Соответствующие вероятности приведены в таблице:

(см. скан)

Не ограничивая общности, допустим, что обозначения классов выбраны так, что Мы покажем теперь, что из четырех перечисленных экспериментов первый (выбор из А) является лучше всего информирующим и, более того, достаточным для каждого из оставшихся остальных.

Сравним выбор из А и из В. Пусть принимают значения 0 и 1, и пусть вероятность равенства единице дается соответственно первый и второй строками таблицы. Пусть не зависит от X и распределено равномерно на (0,1), и пусть при в других случаях. Тогда равна при и равна при так что имеет то же распределение, что и Этим доказано, что X достаточно для X и, следовательно, является лучше информирующим. Для сравнения выбора из А и выбора из В положим при в других случаях. Тогда вероятности события совпадают с указанными в третьей строке таблицы. Наконец, вероятности события совпадают с указанными в последней строке таблицы, если положить при и при

Из общих замечаний, предшествующих разбираемому примеру, вытекает, что экспериментальный материал, если он должен доставляться выборкой объема 5, необходимо брать из категории т. е. самой редкой из всех категорий. Этот способ предпочтительнее извлечения выборки объема из всей совокупности, так как последняя процедура эквивалентна выбору каждого элемента или из А (с вероятностью или из А (с вероятностью

Установленное соотношение между различными экспериментами не зависит не только от а, но и от Далее, если выборка взята из категории А, то по следствию 2 существует РНМ критерий при односторонней альтернативе положительной связи: т. е. в соответствии с которой вероятности и больше, а вероятности меньше, чем при гипотезе независимости. Этот критерий обладает наибольшей мощностью, которой можно достичь, проверяя гипотезу независимости по выборке объема

Пример 5. В процессе Пуассона число событий, наступающих в интервале времени длины о, имеет распределение Пуассона Проблема проверки гипотезы о том, что значение параметра равно при альтернативном значении возникает и при изучении пространственного распределения частиц в объеме Покажем, что эксперимент информирует тем лучше, чем длиннее промежуток наблюдения Пусть Обозначим число событий в промежутках Тогда величины независимы и имеют каждая распределение Пуассона; является достаточной статистикой для . Таким образом, каждый критерий, основанный может быть заменен равносильным критерием, основанным на т. е. лучше информирует, чем , что действительно информирует существенно лучше, чем X (в очевидном значении этого высказывания), можно понять из следующего: единственный наиболее мощный критерий проверки при альтернативе зависит от и, следовательно, не может быть заменен критерием, основанным только на

Иногда бывает невозможно определить число наступивших событий, но можно установить, имело ли место хотя бы одно из них или нет. В бактериологии, например, бактериальная культура смешивается с некоторым количеством воды, из которой берется затем несколько проб фиксированного объема и каждая испытывается на наличие или отсутствие в ней бактерий, т. е. в каждой из проб может наступить или не наступить некоторое событие. В результате мы приходим к биномиальной схеме с вероятностью успеха (т. е. появления по крайней мере одной бактерии)

Так как очень большие иди очень маленькие объемы почти достоверно

приводят к успеху или неудаче, то можно подозревать, что для проверки при альтернативе промежуточные значения лучше информируют, чем крайние. Оказывается, однако, что эксперименты и не сравнимы ни при каких значениях задачу 14).