6. Обобщение фундаментальной леммы

Нижеследующее утверждение представляет собой полезное обобщение теоремы 1 на случай нескольких ограничивающих условий.

Теорема 5. Пусть действительные функции, определенные на евклидовом пространстве интегрируемые относительно некоторой меры Предположим, что при заданных константах существуют критические функции для которых

Обозначим класс всех таких критических функций.

(I) В классе существует элемент, максимизирующий

(II) Для того чтобы элемент из максимизировал

достаточно существования таких констант что

(III) Если элемент класса удовлетворяет (21) с констан тами то он максимизирует

в классе всех критических функций, для которых

(IV) Множество точек -мерного пространства с координатами

где критическая функция, является выпуклым и замкнутым. Если -внутренняя точка существуют константы и критерий удовлетворяющие (20) и (21), и необходимое условие для того, чтобы элемент из максимизировал

состоит в том, что (21) выполняется -почти всюду.

Здесь термин «внутренняя точка в утверждении (IV) может означать точку, внутреннюю для как относительно всего -мерного пространства, так и относительно наименьшего линейного подпространства (размерности содержащего Теорема справедлива при обоих интерпретациях, но является более сильной при последней, при которой она и будет доказана.

Отметим также, что вполне аналогичный результат верен в задаче минимизации

Доказательство. (I) Пусть такая последовательность функций из для которой стремится к По теореме о слабой компактности для критических функций (теорема 3 в Дополнении) существуют подпоследовательность и критическая функция такие, что

Отсюда следует, что феи максимизирует интеграл от в классе

(II) и (III) доказываются точно так же, как часть в теореме 1.

(IV) Замкнутость вытекает из теоремы о слабой компактности, а его выпуклость из того факта, что, каковы бы ни были критические функции и их комбинация при любом также является критической функцией.

Обозначим множество точек -мерного пространства с координатами

где пробегает класс всех критических функций. Тогда, по тем же причинам, что и выше, будет выпуклым и замкнутым. Условимся обозначать координаты точек символами соответственно. Точки первые координат которых равны образуют замкнутый интервал

Рис. 4.

Предположим сначала, что (рис. 4). Так как с является граничной точкой то существует гиперплоскость проходящая через эту точку и такая, что все точки лежат или на или под Пусть уравнение имеет вид

Так как внутренняя точка то коэффициент Чтобы показать, это, выберем Точка

- внутренняя точка Поэтому существует сфера с центром в этой точке, целиком лежащая в и следовательно, расположенная под Таким образом, мы видим, что точка не лежит на стало быть, Мы можем положить и тогда для каждой точки из

Иными словами, для любой критической функции

где критерий, соответствующий точке Таким образом, критическая функция максимизирует правую часть последнего неравенства. Так как интеграл, стоящий в этой части, получает максимальное значение при в точках, где подынтегральное выражение положительно, а при в других точках, то -почти всюду должна удовлетворять (21).

Рассмотрим случай Пусть точка из отличная от Мы покажем сейчас, что существует ровно одно действительное число с такое, что лежит в Допустим противное, т. е. что две точки лежат в Возьмем любую точку из так, что точка лежит внутри прямолинейного отрезка, соединяющего и Такая точка существует, так как внутренняя точка Тогда выпуклое множество, «натянутое» на три точки

содержится в содержит точки что приводит к противоречию. Так как выпукло, содержит начало и имеет самое большее одну точку на каждой вертикали то содержится в гиперплоскости, проходящей через начало и не параллельной оси поэтому

для всех Это может быть лишь в тривиальном случае

и, следовательно, (21) выполняется автоматически.

Следствие 4. Пусть являются плотностями по отношению к мере и пусть Тогда существует критерий такой, что исключая тот случай, когда -почти всюду.

Доказательство. Мы используем индукцию по При утверждение сводится к следствию 1. Допустим, что оно доказано для любой системы из плотностей, и рассмотрим случай плотности Если линейно зависимы, то число может быть сокращено, и теорема верна по предположению индукции. Примем теперь, что линейно независимы. Тогда для каждого существуют, в силу предположения индукции, критерии такие что при всех Отсюда следует, что точка -мерного пространства, все координаты которой равны а, является внутренней точкой так что применимо утверждение (IV) теоремы 5. Критерий а таков, что при Если среди всех критериев, удовлетворяющих наложенным ограничениям, этот критерий является наиболее мощным, он должен удовлетворять (21). Так как то из сказанного следует

что и требовалось доказать.

Наиболее полезными в теоремах 1 и 5 являются части дающие достаточные условия для того, чтобы критическая функция максимизировала некоторый интеграл при определенных дополнительных ограничениях. Эти результаты могут быть весьма просто получены (как показано ниже) методом неопределенных множителей.

Лемма 3. Пусть действительные функции, определенные на пространстве Рассмотрим проблему максимизации при ограничениях Для того чтобы точка иудовлетворяющая этим ограничениям, была решением данной проблемы, достаточно, чтобы она максимизировала выражение

хотя бы при одном выборе

Применяя эту лемму, максимизацию производят обычно при произвольных и затем определяют эти константы так, чтобы выполнялись наложенные ограничения.

Доказательство. Пусть — любая точка, удовлетворяющая наложенным ограничениям. Тогда

и, следовательно,

Рассмотрим, в качестве иллюстрации, проблему, разобранную в теореме 5. Пусть будет пространством всех критических функций и пусть Тогда достаточное условие для того, чтобы максимизировала при ограничениях состоит в том, что максимизирует Последнее же выражение делается максимальным, если принять или при или